Номер 16.13, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.13. В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $M$, $N$, $K$ и $P$ соответственно.

Прямые $MN$ и $PK$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что точка $F$ принадлежит прямой $AC$.

16.13. В четырёхугольник $ABCD$ вписана окружность, касающаяся сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ в точках $M$, $N$, $K$ и $P$ соответственно. Прямые $MN$ и $PK$ пересекаются в точке $F$. Докажите, что точка $F$ принадлежит прямой $AC$.

Для доказательства воспользуемся методами проективной геометрии и свойствами полюсов и поляр.

Пусть $\omega$ — окружность, вписанная в четырёхугольник $ABCD$. Точки $M, N, K, P$ являются точками касания сторон $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Рассмотрим полюса и поляры относительно окружности $\omega$.

По определению, полярой точки, лежащей вне окружности, является прямая, соединяющая точки касания касательных, проведённых из этой точки к окружности. Следовательно:

• Полярой вершины $A$ является прямая $MP$.
• Полярой вершины $B$ является прямая $MN$.
• Полярой вершины $C$ является прямая $NK$.
• Полярой вершины $D$ является прямая $PK$.

Точка $F$ по условию является точкой пересечения прямых $MN$ и $PK$ ($F = MN \cap PK$). Так как точка $F$ лежит на прямой $MN$, которая является полярой точки $B$, то по свойству взаимности полюсов и поляр, точка $B$ лежит на поляре точки $F$. Аналогично, так как точка $F$ лежит на прямой $PK$, которая является полярой точки $D$, то точка $D$ лежит на поляре точки $F$. Поскольку точки $B$ и $D$ лежат на поляре точки $F$, то полярой точки $F$ является прямая, проходящая через точки $B$ и $D$, то есть прямая $BD$.

Нам необходимо доказать, что точка $F$ лежит на прямой $AC$. Утверждение "$F$ лежит на $AC$" эквивалентно утверждению "полюс прямой $AC$ лежит на поляре точки $F$".

Найдём полюс прямой $AC$. Полюс прямой есть точка пересечения поляр любых двух различных точек на этой прямой. Возьмём точки $A$ и $C$. Полюс прямой $AC$ — это точка пересечения поляры точки $A$ (прямая $MP$) и поляры точки $C$ (прямая $NK$). Обозначим эту точку $G = MP \cap NK$.

Итак, утверждение "$F$ лежит на $AC$" эквивалентно утверждению "$G$ лежит на $BD$". Докажем, что точки $G, B, D$ лежат на одной прямой (коллинеарны).

Для доказательства коллинеарности точек $G, B, D$ применим проективное преобразование плоскости $\pi$, которое переводит прямую $BD$ в бесконечно удалённую прямую $l'_{\infty}$. Проективные преобразования сохраняют свойства инцидентности (принадлежность точки прямой), касания и соотношения "полюс-поляра".

Окружность $\omega$ при таком преобразовании перейдёт в некоторую конику $\omega'$. Точки $B$ и $D$ перейдут в бесконечно удалённые точки $B'_{\infty}$ и $D'_{\infty}$. Точка $G$ перейдёт в точку $G' = \pi(G)$. Утверждение "$G$ лежит на $BD$" эквивалентно тому, что в преобразованной плоскости точка $G'$ лежит на бесконечно удалённой прямой, то есть является бесконечно удалённой точкой.

Точка $G' = \pi(G) = \pi(MP \cap NK) = \pi(MP) \cap \pi(NK)$. Чтобы доказать, что $G'$ — бесконечно удалённая точка, нужно показать, что прямые $\pi(MP)$ и $\pi(NK)$ параллельны.

Рассмотрим, как преобразуется фигура. Поскольку точка $B$ (полюс прямой $MN$) переходит в бесконечно удалённую точку $B'_{\infty}$, то её поляра $\pi(MN)$ будет проходить через центр коники $\omega'$. Более того, касательные к конике $\omega'$ в точках $M'=\pi(M)$ и $N'=\pi(N)$ пересекаются в точке $B'_{\infty}$, то есть они параллельны. В центральной конике касательные параллельны, если точки касания диаметрально противоположны. Следовательно, точки $M'$ и $N'$ диаметрально противоположны относительно центра коники $\omega'$.

Аналогично, поскольку $D$ (полюс прямой $PK$) переходит в бесконечно удалённую точку $D'_{\infty}$, касательные к $\omega'$ в точках $P'=\pi(P)$ и $K'=\pi(K)$ параллельны. Следовательно, точки $P'$ и $K'$ также диаметрально противоположны относительно центра коники $\omega'$.

Пусть $O'$ — центр коники $\omega'$. Тогда для векторов, проведённых из центра, имеем: $\vec{O'N'} = -\vec{O'M'}$ и $\vec{O'K'} = -\vec{O'P'}$.

Теперь проверим, параллельны ли прямые $M'P'$ и $N'K'$. Направляющий вектор прямой $M'P'$ равен $\vec{v}_1 = \vec{O'P'} - \vec{O'M'}$. Направляющий вектор прямой $N'K'$ равен $\vec{v}_2 = \vec{O'K'} - \vec{O'N'} = (-\vec{O'P'}) - (-\vec{O'M'}) = \vec{O'M'} - \vec{O'P'} = -(\vec{O'P'} - \vec{O'M'}) = -\vec{v}_1$.

Поскольку направляющие векторы прямых $M'P'$ и $N'K'$ коллинеарны (один является противоположным другому), эти прямые параллельны.

Параллельные прямые $\pi(MP)$ и $\pi(NK)$ пересекаются в бесконечно удалённой точке. Значит, точка $G'$ является бесконечно удалённой. Это означает, что её прообраз, точка $G$, лежит на прямой $BD$.

Так как мы доказали, что $G$ лежит на $BD$, то эквивалентное ему утверждение, что $F$ лежит на $AC$, также является верным.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.