Номер 16.11, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.11. На сторонах $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ такие, что $\frac{AE}{AB} = \frac{2}{3}$, $AF = FD$. В каком отношении диагональ $AC$ делится точкой её пересечения с прямой $EF$?

16.11. На сторонах $AB$ и $AD$ параллелограмма $ABCD$ отметили соответственно точки $E$ и $F$ такие, что $\frac{AE}{AB} = \frac{2}{3}$, $AF = FD$. В каком отношении диагональ $AC$ делится точкой её пересечения с прямой $EF$?

Обозначим точку пересечения диагонали $AC$ и прямой $EF$ как $M$. Нам необходимо найти отношение $AM:MC$. Для решения задачи воспользуемся векторным методом.

Пусть вершина $A$ параллелограмма будет началом координат. Введем базисные векторы $\vec{a} = \vec{AB}$ и $\vec{b} = \vec{AD}$.

Тогда векторы, соответствующие сторонам и диагонали параллелограмма, будут $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$, и $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$.

Исходя из условий задачи, найдем векторы $\vec{AE}$ и $\vec{AF}$. Точка $E$ лежит на стороне $AB$ и $\frac{AE}{AB} = \frac{2}{3}$, следовательно, $\vec{AE} = \frac{2}{3}\vec{AB} = \frac{2}{3}\vec{a}$. Точка $F$ лежит на стороне $AD$ и $AF=FD$, что означает, что $F$ — середина $AD$. Следовательно, $\vec{AF} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

Точка $M$ лежит на диагонали $AC$. Это означает, что вектор $\vec{AM}$ коллинеарен вектору $\vec{AC}$. Таким образом, существует такое число $k$, что $\vec{AM} = k \cdot \vec{AC} = k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$. Отношение, которое нам нужно найти, $AM:MC$, равно $k:(1-k)$.

Точка $M$ также лежит на прямой $EF$. Это означает, что вектор $\vec{AM}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{AE}$ и $\vec{AF}$. То есть, существует такое число $t$, для которого точка $M$ делит отрезок $EF$ в определенном отношении, и ее радиус-вектор можно записать как $\vec{AM} = (1-t)\vec{AE} + t\vec{AF}$.

Подставим выражения для $\vec{AE}$ и $\vec{AF}$:

$\vec{AM} = (1-t)\left(\frac{2}{3}\vec{a}\right) + t\left(\frac{1}{2}\vec{b}\right) = \frac{2(1-t)}{3}\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$.

Теперь у нас есть два выражения для вектора $\vec{AM}$. Поскольку векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны (так как они представляют смежные стороны параллелограмма), мы можем приравнять коэффициенты при этих векторах в обоих выражениях.

Из $\vec{AM} = k\vec{a} + k\vec{b}$ и $\vec{AM} = \frac{2(1-t)}{3}\vec{a} + \frac{t}{2}\vec{b}$ получаем систему уравнений:

$\begin{cases} k = \frac{2(1-t)}{3} \\ k = \frac{t}{2} \end{cases}$

Решим эту систему. Из второго уравнения выразим $t$: $t = 2k$. Подставим это выражение для $t$ в первое уравнение:

$k = \frac{2(1-2k)}{3}$

$3k = 2(1-2k)$

$3k = 2 - 4k$

$7k = 2$

$k = \frac{2}{7}$

Таким образом, мы нашли, что $\vec{AM} = \frac{2}{7}\vec{AC}$. Это означает, что точка $M$ делит отрезок $AC$ так, что длина $AM$ составляет $\frac{2}{7}$ от длины $AC$.

Тогда оставшаяся часть отрезка, $MC$, составляет $MC = AC - AM = AC - \frac{2}{7}AC = \frac{5}{7}AC$.

Искомое отношение:

$\frac{AM}{MC} = \frac{\frac{2}{7}AC}{\frac{5}{7}AC} = \frac{2}{5}$

Следовательно, точка пересечения делит диагональ $AC$ в отношении 2:5, считая от вершины A.

Ответ: 2:5.