Номер 16.4, страница 125 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

16.4. Используя теорему Чевы, докажите, что:

1) медианы треугольника пересекаются в одной точке;

2) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

16.4. Используя теорему Чевы, докажите, что:

1) медианы треугольника пересекаются в одной точке;

2) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

1) медианы треугольника пересекаются в одной точке
Рассмотрим треугольник $ABC$. Пусть $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — его медианы, где точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ соответственно.
По определению медианы:
Точка $A_1$ делит сторону $BC$ пополам, значит $BA_1 = A_1C$, и отношение $ \frac{BA_1}{A_1C} = 1 $.
Точка $B_1$ делит сторону $AC$ пополам, значит $CB_1 = B_1A$, и отношение $ \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $.
Точка $C_1$ делит сторону $AB$ пополам, значит $AC_1 = C_1B$, и отношение $ \frac{AC_1}{C_1B} = 1 $.
Теорема Чевы утверждает, что отрезки (чевианы) $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: $ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $
Подставим найденные значения отношений в это равенство:
$ 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1 $
$ 1 = 1 $
Равенство выполняется, следовательно, по теореме Чевы, медианы треугольника $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

2) биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке
Рассмотрим треугольник $ABC$. Обозначим длины его сторон: $BC = a$, $AC = b$, $AB = c$. Пусть $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ — биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ соответственно, где точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на сторонах $BC$, $AC$ и $AB$.
По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Применим это свойство для каждой биссектрисы:
Для биссектрисы $AA_1$: $ \frac{BA_1}{A_1C} = \frac{AB}{AC} = \frac{c}{b} $.
Для биссектрисы $BB_1$: $ \frac{CB_1}{B_1A} = \frac{BC}{AB} = \frac{a}{c} $.
Для биссектрисы $CC_1$: $ \frac{AC_1}{C_1B} = \frac{AC}{BC} = \frac{b}{a} $.
Проверим выполнение условия теоремы Чевы:
$ \frac{AC_1}{C_1B} \cdot \frac{BA_1}{A_1C} \cdot \frac{CB_1}{B_1A} = 1 $
Подставим полученные отношения в левую часть равенства:
$ \frac{b}{a} \cdot \frac{c}{b} \cdot \frac{a}{c} $
Сократив переменные в числителе и знаменателе, получаем:
$ \frac{abc}{abc} = 1 $
$ 1 = 1 $
Равенство выполняется, следовательно, по теореме Чевы, биссектрисы треугольника $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в одной точке. Что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.