Номер 15.53, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.53. На рисунке 15.20 изображён вписанный в окружность семиугольник ABCDEFG, все стороны которого равны. Докажите, что $\frac{1}{AC} + \frac{1}{AD} = \frac{1}{AB}$.

Рис. 15.20

15.53. На рисунке 15.20 изображён вписанный в окружность семиугольник ABCDEFG, все стороны которого равны. Докажите, что $ \frac{1}{AC} + \frac{1}{AD} = \frac{1}{AB} $.

Рис. 15.20

Пусть $ABCDEFG$ — правильный семиугольник, вписанный в окружность. Обозначим длины его стороны и диагоналей:

• $a = AB$ (сторона)
• $b = AC$ (короткая диагональ, стягивающая две стороны)
• $c = AD$ (длинная диагональ, стягивающая три стороны)

Требуется доказать равенство:

$\frac{1}{AC} + \frac{1}{AD} = \frac{1}{AB}$

В наших обозначениях это выглядит так:

$\frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a}$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{c+b}{bc} = \frac{1}{a}$

Это равенство эквивалентно следующему:

$a(b+c) = bc$

Для доказательства этого равенства рассмотрим вписанный четырехугольник $ACDE$. Его вершины лежат на одной окружности.

Найдем длины его сторон и диагоналей:

• $AC = b$ (по определению).
• $CD = a$ (сторона семиугольника).
• $DE = a$ (сторона семиугольника).
• $AE$ — диагональ, которая стягивает три стороны ($AG$, $GF$, $FE$). В силу симметрии правильного семиугольника, ее длина равна длине диагонали $AD$, которая также стягивает три стороны ($AB$, $BC$, $CD$). Следовательно, $AE = AD = c$.
• $AD = c$ (диагональ четырехугольника).
• $CE$ — диагональ, которая стягивает две стороны ($CD$, $DE$). Ее длина равна длине диагонали $AC$, которая также стягивает две стороны ($AB$, $BC$). Следовательно, $CE = AC = b$.

Воспользуемся теоремой Птолемея для вписанного четырехугольника $ACDE$, которая гласит, что сумма произведений длин противолежащих сторон равна произведению длин диагоналей:

$AC \cdot DE + CD \cdot AE = AD \cdot CE$

Подставим в это равенство найденные длины сторон и диагоналей:

$b \cdot a + a \cdot c = c \cdot b$

Вынесем $a$ за скобки в левой части:

$a(b+c) = bc$

Мы получили равенство, эквивалентное тому, которое требовалось доказать. Разделим обе части на $abc$ (поскольку $a, b, c$ — это длины, они не равны нулю):

$\frac{a(b+c)}{abc} = \frac{bc}{abc}$

$\frac{b+c}{bc} = \frac{1}{a}$

$\frac{b}{bc} + \frac{c}{bc} = \frac{1}{a}$

$\frac{1}{c} + \frac{1}{b} = \frac{1}{a}$

Вернемся к исходным обозначениям:

$\frac{1}{AD} + \frac{1}{AC} = \frac{1}{AB}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\frac{1}{AC} + \frac{1}{AD} = \frac{1}{AB}$ доказано с помощью теоремы Птолемея для вписанного четырехугольника $ACDE$.