Номер 15.52, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.52. На окружности отметили точки A, B, C и D такие, что $\cup AB = \cup BC = \cup CD$.

Докажите, что $AC^2 = AB \cdot (BC + AD)$.

15.52. На окружности отметили точки A, B, C и D такие, что $ \cup AB = \cup BC = \cup CD $. Докажите, что $ AC^2 = AB \cdot (BC + AD) $.

Поскольку по условию задачи дуги ◡AB, ◡BC и ◡CD равны, то равны и хорды, стягивающие эти дуги:$AB = BC = CD$.

Рассмотрим дуги ◡AC и ◡BD.Дуга ◡AC состоит из дуг ◡AB и ◡BC: $◡AC = ◡AB + ◡BC$.Дуга ◡BD состоит из дуг ◡BC и ◡CD: $◡BD = ◡BC + ◡CD$.Так как $◡AB = ◡CD$, то $◡AC = ◡BD$.Равные дуги стягиваются равными хордами, следовательно, $AC = BD$.

Также из равенства дуг $◡AB = ◡CD$ следует, что хорды $AD$ и $BC$ параллельны (так как дуги, заключенные между параллельными хордами, равны). Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является равнобедренной трапецией с основаниями $AD$ и $BC$.

Проведем дополнительное построение. На луче $AD$ отложим за точкой $D$ отрезок $DK$, равный отрезку $BC$. Таким образом, $DK = BC$.Длина отрезка $AK$ будет равна сумме длин отрезков $AD$ и $DK$:$AK = AD + DK = AD + BC$.

Рассмотрим четырехугольник $BCDK$. В нем стороны $BC$ и $DK$ параллельны (так как $BC || AD$ и точка $K$ лежит на прямой $AD$) и равны по построению ($BC = DK$). Следовательно, четырехугольник $BCDK$ — параллелограмм.Из свойства параллелограмма следует, что противоположные стороны равны, то есть $CK = BD$.

Ранее мы показали, что $AC = BD$. Так как $CK = BD$, то получаем, что $AC = CK$.Это означает, что треугольник $ACK$ является равнобедренным с основанием $AK$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle CAK = \angle CKA$.

Пусть мера равных дуг ◡AB, ◡BC, ◡CD равна $2\alpha$. Тогда вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны $\alpha$.Угол $\angle CAD$ является вписанным и опирается на дугу ◡CD, следовательно, $\angle CAD = \alpha$.Так как точки $A, D, K$ лежат на одной прямой, то $\angle CAK = \angle CAD = \alpha$.Поскольку $\angle CAK = \angle CKA$, то $\angle CKA = \alpha$.Сумма углов в треугольнике $ACK$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle ACK = 180^\circ - (\angle CAK + \angle CKA) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$.Угол $\angle BAC$ — вписанный, опирается на дугу ◡BC, значит $\angle BAC = \alpha$.Угол $\angle BCA$ — вписанный, опирается на дугу ◡AB, значит $\angle BCA = \alpha$.Сумма углов в треугольнике $ABC$ равна $180^\circ$, поэтому $\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle BCA) = 180^\circ - (\alpha + \alpha) = 180^\circ - 2\alpha$.

Сравним треугольники $ABC$ и $KCA$. Мы нашли их углы:В $\triangle ABC$: $\angle BAC = \alpha$, $\angle BCA = \alpha$, $\angle ABC = 180^\circ - 2\alpha$.В $\triangle KCA$: $\angle CAK = \alpha$, $\angle CKA = \alpha$, $\angle ACK = 180^\circ - 2\alpha$.Так как все три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, эти треугольники подобны: $\triangle ABC \sim \triangle KCA$.(Соответствие вершин: A↔K, B↔C, C↔A).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответственных сторон:$\frac{AB}{KC} = \frac{BC}{CA} = \frac{AC}{KA}$

Возьмем вторую часть этого равенства:$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AK}$

Отсюда, по свойству пропорции, получаем:$AC^2 = BC \cdot AK$

Подставим в это равенство выражение для $AK$, найденное ранее ($AK = AD + BC$):$AC^2 = BC \cdot (AD + BC)$

Наконец, используя равенство хорд $AB = BC$, заменим $BC$ на $AB$ в качестве первого множителя, чтобы получить точное выражение из условия задачи:$AC^2 = AB \cdot (BC + AD)$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC^2 = AB \cdot (BC + AD)$ доказано.