Номер 15.50, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.50. На окружности отметили точку $K$. Провели окружность с центром в точке $K$, которая касается диаметра первой окружности в точке $E$ и пересекает первую окружность в точках $P$ и $M$ (рис. 15.19). Докажите, что прямая $PM$ делит отрезок $KE$ пополам.

Рис. 15.19

15.50. На окружности отметили точку $K$. Провели окружность с центром в точке $K$, которая касается диаметра первой окружности в точке $E$ и пересекает первую окружность в точках $P$ и $M$ (рис. 15.19). Докажите, что прямая $PM$ делит отрезок $KE$ пополам.

Рис. 15.19

Пусть первая окружность, на которой лежит точка K, имеет центр в точке O и радиус R. Обозначим ее $\omega_1$. Вторая окружность с центром в точке K, касающаяся диаметра первой, пусть будет $\omega_2$ с радиусом r.

По условию, точка K лежит на окружности $\omega_1$, следовательно, расстояние от ее центра O до точки K равно радиусу R: $OK = R$.

Окружность $\omega_2$ касается диаметра окружности $\omega_1$ в точке E. Это означает, что радиус KE окружности $\omega_2$ перпендикулярен этому диаметру. Таким образом, $KE \perp OE$. Радиус второй окружности равен длине отрезка KE, то есть $r = KE$.

Прямая PM, проходящая через точки пересечения двух окружностей, является их радикальной осью. По определению, для любой точки, лежащей на радикальной оси, ее степени относительно обеих окружностей равны.

Пусть F — точка пересечения прямой PM и отрезка KE. Поскольку точка F лежит на радикальной оси PM, ее степень относительно $\omega_1$ равна ее степени относительно $\omega_2$:$Pow_{\omega_1}(F) = Pow_{\omega_2}(F)$

Степень точки F относительно окружности $\omega_1$ вычисляется как $FO^2 - R^2$.
Степень точки F относительно окружности $\omega_2$ вычисляется как $FK^2 - r^2$.

Приравнивая эти два выражения, получаем:$FO^2 - R^2 = FK^2 - r^2$

Так как $r = KE$, уравнение принимает вид:$FO^2 - R^2 = FK^2 - KE^2$ (1)

Рассмотрим треугольник $\triangle OEK$. Так как $KE \perp OE$, этот треугольник является прямоугольным с прямым углом при вершине E. По теореме Пифагора:$OK^2 = OE^2 + KE^2$

Поскольку $OK = R$, мы можем записать:$R^2 = OE^2 + KE^2$ (2)

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OEF$. Он также является прямоугольным с прямым углом при вершине E, так как F лежит на KE. По теореме Пифагора:$FO^2 = OE^2 + FE^2$ (3)

Подставим выражения для $R^2$ и $FO^2$ из уравнений (2) и (3) в уравнение (1):$(OE^2 + FE^2) - (OE^2 + KE^2) = FK^2 - KE^2$

Упростим левую часть равенства:$OE^2 + FE^2 - OE^2 - KE^2 = FK^2 - KE^2$$FE^2 - KE^2 = FK^2 - KE^2$

Прибавив $KE^2$ к обеим частям, получаем:$FE^2 = FK^2$

Поскольку FE и FK представляют собой длины отрезков, они являются неотрицательными. Следовательно, $FE = FK$.

Это означает, что точка F является серединой отрезка KE. Таким образом, прямая PM делит отрезок KE пополам, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.