Номер 15.48, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.48 Даны отрезок $AB$ и прямая $l$, параллельная этому отрезку. С помощью только линейки разделите отрезок $AB$ пополам.

15.48. Даны отрезок $AB$ и прямая $l$, параллельная этому отрезку. С помощью только линейки разделите отрезок $AB$ пополам.

Для решения данной задачи воспользуемся свойством трапеции, согласно которому точка пересечения диагоналей, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Построение будет основано на создании такой трапеции, где отрезок $AB$ является одним из оснований.

Построение

1. Выберем произвольную точку $S$, не лежащую на прямой $l$ и не на прямой, содержащей отрезок $AB$.
2. С помощью линейки проведем прямые $SA$ и $SB$.
3. Обозначим точки пересечения этих прямых с прямой $l$ как $A'$ и $B'$ соответственно. То есть, $A' = SA \cap l$ и $B' = SB \cap l$.
4. Поскольку прямая $l$ параллельна прямой, содержащей отрезок $AB$, то отрезок $A'B'$ параллелен $AB$. Таким образом, четырехугольник $ABB'A'$ является трапецией с основаниями $AB$ и $A'B'$ и боковыми сторонами $AA'$ и $BB'$. Точка $S$ является точкой пересечения продолжений боковых сторон.
5. С помощью линейки проведем диагонали трапеции: прямые $AB'$ и $BA'$.
6. Обозначим точку пересечения диагоналей $AB'$ и $BA'$ буквой $O$.
7. Проведем прямую через точки $S$ и $O$.
8. Точка пересечения прямой $SO$ с отрезком $AB$ является его серединой. Обозначим эту точку $M$.

Обоснование

Докажем, что построенная точка $M$ действительно является серединой отрезка $AB$. Для этого воспользуемся понятием гомотетии (центрального подобия).

Пусть $M$ — середина отрезка $AB$, а $M'$ — середина отрезка $A'B'$.

Рассмотрим гомотетию $h_S$ с центром в точке $S$, которая переводит прямую, содержащую $AB$, в прямую $l$. При этой гомотетии точка $A$ переходит в $A'$, а точка $B$ — в $B'$. Гомотетия сохраняет отношение длин, поэтому середина отрезка $AB$, точка $M$, перейдет в середину отрезка $A'B'$, точку $M'$. По определению гомотетии, центр гомотетии $S$ и соответствующие точки $M$ и $M'$ лежат на одной прямой. Следовательно, точки $S$, $M$ и $M'$ коллинеарны.

Теперь рассмотрим гомотетию $h_O$ с центром в точке пересечения диагоналей $O$. Треугольник $OAB$ подобен треугольнику $OB'A'$ (по двум углам, так как $AB \parallel A'B'$). Эта гомотетия переводит точку $A$ в $B'$, а точку $B$ в $A'$. Коэффициент гомотетии отрицателен. При этой гомотетии отрезок $AB$ переходит в отрезок $B'A'$ (который совпадает с $A'B'$), а середина отрезка $AB$, точка $M$, переходит в середину отрезка $A'B'$, точку $M'$. Следовательно, центр гомотетии $O$ и точки $M$ и $M'$ также лежат на одной прямой.

Поскольку обе точки $S$ и $O$ лежат на прямой, проходящей через $M$ и $M'$, то все четыре точки $S$, $O$, $M$ и $M'$ лежат на одной прямой.

Таким образом, прямая, построенная через точки $S$ и $O$, проходит через середину $M$ отрезка $AB$. Точка пересечения прямой $SO$ и отрезка $AB$ и есть искомая середина.

Ответ: Нужно выбрать произвольную точку $S$ вне отрезка $AB$ и прямой $l$. Провести лучи $SA$ и $SB$ до пересечения с прямой $l$ в точках $A'$ и $B'$. Затем провести отрезки $AB'$ и $A'B$, найти их точку пересечения $O$. Прямая, проведенная через точки $S$ и $O$, пересечет отрезок $AB$ в его середине.