Номер 15.47, страница 119 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.47. Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $F$, а лучи $BC$ и $AD$ — в точке $E$. Точки $E$ и $F$ равноудалены от прямой $BD$. Докажите, что диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ пополам.

15.47. Дан выпуклый четырёхугольник $ABCD$. Лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $F$, а лучи $BC$ и $AD$ — в точке $E$. Точки $E$ и $F$ равноудалены от прямой $BD$. Докажите, что диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ пополам.

Пусть диагонали $AC$ и $BD$ выпуклого четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$. Нам нужно доказать, что $BO=OD$.

Известно, что отношение отрезков, на которые диагональ $AC$ делит диагональ $BD$, равно отношению площадей треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. То есть,$$ \frac{BO}{OD} = \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ADC}} $$Таким образом, задача сводится к доказательству равенства площадей $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.

1. Анализ условия равноудаленности точек E и F.

По условию, лучи $AB$ и $DC$ пересекаются в точке $F$, а лучи $BC$ и $AD$ — в точке $E$. Для выпуклого четырехугольника $ABCD$ это означает, что точка $B$ лежит между $A$ и $F$, точка $C$ — между $D$ и $F$. Аналогично, точка $C$ лежит между $B$ и $E$, а точка $D$ — между $A$ и $E$.

Точки $E$ и $F$ равноудалены от прямой $BD$. Рассмотрим расположение этих точек относительно прямой $BD$. Прямая $BD$ делит плоскость на две полуплоскости. Вершины $A$ и $C$ лежат в разных полуплоскостях.

• Точка $F$ лежит на продолжении луча $AB$ за точку $B$. Следовательно, $F$ лежит в той же полуплоскости относительно $BD$, что и точка $C$ (если представить $BD$ горизонтальной, $A$ — сверху, $C$ — снизу, то луч $AB$ уходит "вниз" за точку $B$). Аналогично, $F$ лежит на продолжении луча $DC$ за точку $C$, что также помещает $F$ в полуплоскость, содержащую $C$.
• Точка $E$ лежит на продолжении луча $BC$ за точку $C$, значит, $E$ находится в той же полуплоскости, что и $C$. Аналогично, $E$ лежит на продолжении луча $AD$ за точку $D$, что также помещает $E$ в полуплоскость, содержащую $C$.

Таким образом, точки $E$ и $F$ лежат по одну сторону от прямой $BD$.

Условие равноудаленности точек $E$ и $F$ от прямой $BD$ означает, что высоты треугольников $\triangle EBD$ и $\triangle FBD$, опущенные из вершин $E$ и $F$ на прямую $BD$, равны. Поскольку эти треугольники имеют общее основание $BD$ и равные высоты, их площади равны:$$ S_{\triangle EBD} = S_{\triangle FBD} $$

2. Вывод ключевого соотношения сторон.

Выразим площади треугольников через длины сторон и синусы углов.$$ S_{\triangle EBD} = \frac{1}{2} ED \cdot BD \cdot \sin(\angle EDB) $$$$ S_{\triangle FBD} = \frac{1}{2} FB \cdot BD \cdot \sin(\angle FBD) $$Так как точки $A, D, E$ лежат на одной прямой (причем $D$ между $A$ и $E$), то $\angle EDB = 180^\circ - \angle ADB$, и $\sin(\angle EDB) = \sin(\angle ADB)$.Так как точки $A, B, F$ лежат на одной прямой (причем $B$ между $A$ и $F$), то $\angle FBD = 180^\circ - \angle ABD$, и $\sin(\angle FBD) = \sin(\angle ABD)$.

Подставляя это в равенство площадей, получаем:$$ ED \cdot \sin(\angle ADB) = FB \cdot \sin(\angle ABD) \quad (*)$$

Применим теорему синусов к треугольнику $\triangle ABD$:$$ \frac{AD}{\sin(\angle ABD)} = \frac{AB}{\sin(\angle ADB)} \implies AD \cdot \sin(\angle ADB) = AB \cdot \sin(\angle ABD) \quad (**) $$

Разделим почленно равенство $(*)$ на равенство $(**)$:$$ \frac{ED \cdot \sin(\angle ADB)}{AD \cdot \sin(\angle ADB)} = \frac{FB \cdot \sin(\angle ABD)}{AB \cdot \sin(\angle ABD)} $$$$ \frac{ED}{AD} = \frac{FB}{AB} $$Это ключевое соотношение, которое следует из условия задачи.

3. Применение теоремы Менелая.

Рассмотрим треугольник $\triangle ADF$ и секущую $BCE$. Точки $B, C, E$ лежат на одной прямой. Точка $B$ лежит на стороне $AF$, точка $C$ — на стороне $DF$, а точка $E$ — на продолжении стороны $AD$. По теореме Менелая:$$ \frac{AE}{ED} \cdot \frac{DC}{CF} \cdot \frac{FB}{BA} = 1 $$

Из полученного ранее соотношения $\frac{FB}{AB} = \frac{ED}{AD}$, следует, что $\frac{BA}{FB} = \frac{AD}{ED}$. Подставим это в теорему Менелая:$$ \frac{AE}{ED} \cdot \frac{DC}{CF} \cdot \frac{AD}{ED} = 1 \implies AE \cdot DC \cdot AD = ED^2 \cdot CF $$Это выглядит сложно. Используем соотношение в другом виде:$$ \frac{AE}{ED} \cdot \frac{DC}{CF} = \frac{BA}{FB} = \frac{AD}{ED} $$$$ \frac{AE}{ED} \cdot \frac{DC}{CF} = \frac{AD}{ED} \implies AE \cdot DC = AD \cdot CF $$Поскольку $A, D, E$ лежат на одной прямой, $AE = AD+DE$. Аналогично, $D, C, F$ лежат на одной прямой, поэтому $CF=CD+DF$.$$ (AD+DE) \cdot DC = AD \cdot (CD+DF) $$$$ AD \cdot DC + DE \cdot DC = AD \cdot CD + AD \cdot DF $$$$ DE \cdot DC = AD \cdot DF \implies \frac{DE}{AD} = \frac{DF}{DC} $$

4. Доказательство параллельности прямых и завершение.

Сопоставляя два полученных равенства, имеем:$$ \frac{FB}{AB} = \frac{DE}{AD} \quad \text{и} \quad \frac{DE}{AD} = \frac{DF}{DC} $$Следовательно,$$ \frac{FB}{AB} = \frac{DF}{DC} $$Рассмотрим $\triangle FAC$. Точки $B$ и $D$ лежат на сторонах $FA$ и $FC$ соответственно.Перепишем соотношение:$FA = FB+AB$ и $FC = FD+DC$.$\frac{FB}{AB}+1 = \frac{DF}{DC}+1 \implies \frac{FB+AB}{AB} = \frac{DF+DC}{DC} \implies \frac{FA}{AB} = \frac{FC}{DC}$.

Из $\frac{FB}{AB} = \frac{DF}{DC}$ следует $FB \cdot DC = DF \cdot AB$.Учитывая, что $FA = FB+AB$ и $FC=FD+DC$, выразим $AB = FA-FB$ и $DC = FC-FD$.$FB \cdot (FC-FD) = DF \cdot (FA-FB)$$FB \cdot FC - FB \cdot FD = DF \cdot FA - DF \cdot FB$$FB \cdot FC = DF \cdot FA \implies \frac{FB}{FA} = \frac{DF}{FC}$

Это соотношение, согласно обратной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), означает, что прямая $BD$ параллельна прямой $AC$ ($BD \parallel AC$).

Если диагонали четырехугольника $ABCD$ параллельны, то расстояния от точек $B$ и $D$ до прямой $AC$ равны.$$ d(B, AC) = d(D, AC) $$Площади треугольников $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ с общим основанием $AC$ равны, так как равны их высоты, опущенные из вершин $B$ и $D$:$$ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} AC \cdot d(B, AC) $$$$ S_{\triangle ADC} = \frac{1}{2} AC \cdot d(D, AC) $$Отсюда $S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ADC}$.

Возвращаясь к исходному соотношению для отрезков диагонали:$$ \frac{BO}{OD} = \frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ADC}} = 1 $$Следовательно, $BO=OD$, что означает, что диагональ $AC$ делит диагональ $BD$ пополам.

Ответ: Доказано, что диагональ AC делит диагональ BD пополам.