Номер 15.45, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.45. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ $\angle BAC = \angle CBD$ и $\angle BCA = \angle CDB$. Через точки $A, D$ и точку пересечения диагоналей четырёхугольника проведена окружность. Через точки $B$ и $C$ к окружности провели касательные $BK$ и $CF$ ($K$ и $F$ — точки касания). Докажите, что $BK = CF$.

15.45. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ $\angle BAC = \angle CBD$ и $\angle BCA = \angle CDB$. Через точки $A$, $D$ и точку пересечения диагоналей четырёхугольника проведена окружность. Через точки $B$ и $C$ к окружности провели касательные $BK$ и $CF$ ($K$ и $F$ — точки касания). Докажите, что $BK = CF$.

Пусть $P$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$.По условию, $\angle BAC = \angle CBD$ и $\angle BCA = \angle CDB$.Обозначим через $\omega$ окружность, проходящую через точки $A$, $D$ и $P$.$BK$ и $CF$ — касательные к окружности $\omega$ из точек $B$ и $C$ соответственно, где $K$ и $F$ — точки касания.

Квадрат длины отрезка касательной, проведённой из точки к окружности, равен степени этой точки относительно окружности. Таким образом, для доказательства равенства $BK = CF$ достаточно доказать, что степени точек $B$ и $C$ относительно окружности $\omega$ равны, то есть $BK^2 = CF^2$.

Степень точки $B$ относительно окружности $\omega$ (проходящей через точки $P$ и $D$) можно вычислить с помощью секущей $BD$. Она равна произведению отрезков $BP \cdot BD$. Итак, $BK^2 = BP \cdot BD$.

Степень точки $C$ относительно окружности $\omega$ (проходящей через точки $P$ и $A$) можно вычислить с помощью секущей $AC$. Она равна произведению отрезков $CP \cdot CA$. Итак, $CF^2 = CP \cdot CA$.

Таким образом, задача сводится к доказательству равенства $BP \cdot BD = CP \cdot CA$.

Рассмотрим первое условие задачи: $\angle BAC = \angle CBD$. С учётом точки $P$, это равенство можно записать как $\angle PAB = \angle CBP$. Рассмотрим описанную окружность треугольника $\triangle APB$. Угол $\angle PAB$ — это вписанный угол, опирающийся на хорду $PB$. Угол $\angle CBP$ — это угол между хордой $PB$ и прямой $BC$. Согласно теореме, обратной теореме об угле между касательной и хордой, из равенства $\angle PAB = \angle CBP$ следует, что прямая $BC$ является касательной к описанной окружности треугольника $\triangle APB$ в точке $B$.

Поскольку $BC$ — касательная к описанной окружности $\triangle APB$ в точке $B$, то степень точки $C$ относительно этой окружности равна квадрату длины касательной $BC$, то есть $BC^2$. С другой стороны, степень точки $C$ можно выразить через секущую $CA$, и она равна $CP \cdot CA$. Следовательно, $BC^2 = CP \cdot CA$.

Теперь рассмотрим второе условие задачи: $\angle BCA = \angle CDB$. С учётом точки $P$, это равенство можно записать как $\angle BCP = \angle CDP$. Рассмотрим описанную окружность треугольника $\triangle CDP$. Угол $\angle CDP$ — это вписанный угол, опирающийся на хорду $CP$. Угол $\angle BCP$ — это угол между хордой $CP$ и прямой $BC$. Аналогично предыдущему пункту, из равенства $\angle BCP = \angle CDP$ следует, что прямая $BC$ является касательной к описанной окружности треугольника $\triangle CDP$ в точке $C$.

Поскольку $BC$ — касательная к описанной окружности $\triangle CDP$ в точке $C$, то степень точки $B$ относительно этой окружности равна квадрату длины отрезка $BC$ (так как $BC$ является отрезком касательной), то есть $BC^2$. С другой стороны, степень точки $B$ можно выразить через секущую $BD$, и она равна $BP \cdot BD$. Следовательно, $BC^2 = BP \cdot BD$.

Из двух полученных равенств:
$CP \cdot CA = BC^2$
$BP \cdot BD = BC^2$
следует, что $BP \cdot BD = CP \cdot CA$.

Так как $BK^2 = BP \cdot BD$ и $CF^2 = CP \cdot CA$, то мы получаем $BK^2 = CF^2$. Поскольку длины отрезков $BK$ и $CF$ — положительные числа, то $BK = CF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $BK = CF$ доказано.