Номер 15.38, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.38. На продолжении биссектрисы CF треугольника ABC за точку C отметили точку D так, что $\angle ADB = \frac{1}{2} \angle ACB$. Докажите, что $CD^2 = AC \cdot CB$.

15.38. На продолжении биссектрисы $CF$ треугольника $ABC$ за точку $C$ отметили точку $D$ так, что $\angle ADB = \frac{1}{2}\angle ACB$. Докажите, что $CD^2 = AC \cdot CB$.

Пусть $CF$ — биссектриса угла $ \angle ACB $ треугольника $ \triangle ABC $. Обозначим $ \angle ACF = \angle BCF = \gamma $. Тогда $ \angle ACB = 2\gamma $.

По условию задачи, на продолжении биссектрисы $CF$ за точку $C$ выбрана точка $D$ так, что $ \angle ADB = \frac{1}{2} \angle ACB = \frac{1}{2}(2\gamma) = \gamma $.

Поскольку точка $D$ лежит на продолжении отрезка $FC$ за точку $C$, точки $F, C, D$ лежат на одной прямой, причем $C$ находится между $F$ и $D$. Рассмотрим углы, смежные с углами при вершине $C$ треугольника $ABC$. Углы $ \angle ACD $ и $ \angle ACF $ являются смежными, так как $F, C, D$ лежат на одной прямой. Следовательно, их сумма равна $180^\circ$.

$ \angle ACD = 180^\circ - \angle ACF = 180^\circ - \gamma $.

Аналогично, углы $ \angle BCD $ и $ \angle BCF $ являются смежными:

$ \angle BCD = 180^\circ - \angle BCF = 180^\circ - \gamma $.

Таким образом, мы получаем, что $ \angle ACD = \angle BCD = 180^\circ - \gamma $.

Точка $F$ лежит на стороне $AB$. Точка $C$ лежит на отрезке $FD$. Это означает, что луч $DC$ совпадает с лучом $DF$. Так как луч $DF$ проходит через точку $F$ на отрезке $AB$, он лежит внутри угла $ \angle ADB $. Следовательно, угол $ \angle ADB $ равен сумме углов $ \angle ADC $ и $ \angle BDC $:

$ \angle ADB = \angle ADC + \angle BDC $.

Подставляя известное значение $ \angle ADB = \gamma $, получаем:

$ \gamma = \angle ADC + \angle BDC $.

Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle CAD $ и $ \triangle CDB $. Мы докажем их подобие.

Сумма углов в треугольнике $ \triangle CAD $ равна $180^\circ$:

$ \angle CAD + \angle CDA + \angle ACD = 180^\circ $.

Подставим $ \angle ACD = 180^\circ - \gamma $:

$ \angle CAD + \angle CDA + (180^\circ - \gamma) = 180^\circ $, откуда $ \angle CAD + \angle CDA = \gamma $.

Из этого равенства выразим $ \angle CAD $:

$ \angle CAD = \gamma - \angle CDA $.

Из равенства $ \gamma = \angle ADC + \angle BDC $ выразим $ \angle BDC $ (учитывая, что $ \angle CDA = \angle ADC $):

$ \angle BDC = \gamma - \angle ADC $.

Сравнивая два полученных выражения, заключаем, что $ \angle CAD = \angle BDC $.

Аналогично, из суммы углов в треугольнике $ \triangle CDB $ ($ \angle CBD + \angle CDB + \angle BCD = 180^\circ $) и равенства $ \angle ADC + \angle BDC = \gamma $, мы можем показать, что $ \angle CBD = \angle CDA $.

Таким образом, в треугольниках $ \triangle CAD $ и $ \triangle CDB $ мы имеем три пары равных углов:

• $ \angle ACD = \angle BCD $ (как было показано ранее, оба равны $180^\circ - \gamma$)
• $ \angle CAD = \angle CDB $
• $ \angle CDA = \angle CBD $

Следовательно, треугольники $ \triangle CAD $ и $ \triangle CDB $ подобны по трем углам (признак AAA). Важно правильно сопоставить вершины: вершине $C$ в первом треугольнике соответствует вершина $C$ во втором, вершине $A$ — вершина $D$, а вершине $D$ — вершина $B$. Таким образом, $ \triangle CAD \sim \triangle CDB $.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

$ \frac{CA}{CD} = \frac{CD}{CB} = \frac{AD}{DB} $.

Рассматривая первую часть этого равенства:

$ \frac{CA}{CD} = \frac{CD}{CB} $.

Перемножая крест-накрест, получаем:

$ CD^2 = CA \cdot CB $.

Поскольку $ CA = AC $ и $ CB = BC $, равенство можно записать как $ CD^2 = AC \cdot CB $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ CD^2 = AC \cdot CB $ доказано.