Номер 15.31, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.31. Через точку M, лежащую вне окружности, проведена прямая, пересекающая данную окружность в точках A и B. Докажите, что $MA \cdot MB = d^2 - R^2$, где R — радиус окружности, d — расстояние от точки M до центра окружности.

15.31. Через точку $M$, лежащую вне окружности, проведена прямая, пересекающая данную окружность в точках $A$ и $B$. Докажите, что $MA \cdot MB = d^2 - R^2$, где $R$ — радиус окружности, $d$ — расстояние от точки $M$ до центра окружности.

Пусть $O$ — центр данной окружности, $R$ — её радиус. Пусть точка $M$ лежит вне окружности, и расстояние от точки $M$ до центра окружности равно $d$, то есть $OM = d$.

Проведем через точку $M$ произвольную секущую, пересекающую окружность в точках $A$ и $B$. Также проведем еще одну секущую через точку $M$ и центр окружности $O$. Пусть эта секущая пересекает окружность в точках $C$ и $D$, так что точка $C$ лежит между $M$ и $O$.

Рассмотрим треугольники $\triangle MAC$ и $\triangle MDB$.

1. Угол $\angle M$ является общим для обоих треугольников.

2. Углы $\angle MAC$ (то же, что и $\angle BAC$) и $\angle MDB$ (то же, что и $\angle CDB$) являются вписанными углами, опирающимися на одну и ту же дугу $BC$. Следовательно, эти углы равны: $\angle MAC = \angle MDB$.

Таким образом, треугольники $\triangle MAC$ и $\triangle MDB$ подобны по двум углам (признак подобия AA).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$\frac{MA}{MD} = \frac{MC}{MB}$

Используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$MA \cdot MB = MC \cdot MD$

Это равенство означает, что произведение отрезков секущей от точки $M$ до точек ее пересечения с окружностью является постоянной величиной, не зависящей от выбора секущей. Эта величина называется степенью точки $M$ относительно окружности.

Теперь найдем значение этого произведения, используя секущую, проходящую через центр $O$. Для этой секущей отрезки $MC$ и $MD$ можно выразить через $d$ и $R$.

Поскольку $C$ и $D$ — точки на окружности, а $O$ — её центр, то $OC = OD = R$. Расстояние $OM = d$.

Длина отрезка $MC$ равна разности расстояния от $M$ до центра $O$ и радиуса:

$MC = OM - OC = d - R$

Длина отрезка $MD$ равна сумме расстояния от $M$ до центра $O$ и радиуса:

$MD = OM + OD = d + R$

Тогда их произведение равно:

$MC \cdot MD = (d - R)(d + R) = d^2 - R^2$

Так как мы доказали, что $MA \cdot MB = MC \cdot MD$, то мы можем заключить:

$MA \cdot MB = d^2 - R^2$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение $MA \cdot MB = d^2 - R^2$ доказано.