Номер 15.35, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.35. В треугольник $ABC$ вписан квадрат так, что две его соседние вершины принадлежат стороне $AC$, а две другие — сторонам $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите сторону квадрата, если $AC = a$, а высота, проведённая к стороне $AC$, равна $h$.

15.35. В треугольник $ABC$ вписан квадрат так, что две его соседние вершины принадлежат стороне $AC$, а две другие — сторонам $AB$ и $BC$ соответственно. Найдите сторону квадрата, если $AC = a$, а высота, проведённая к стороне $AC$, равна $h$.

Пусть дан треугольник $ABC$, в котором основание $AC = a$ и высота $BH = h$, проведенная к этому основанию. В этот треугольник вписан квадрат $DEFG$ так, что его вершины $D$ и $G$ лежат на стороне $AC$, а вершины $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно. Обозначим искомую сторону квадрата через $x$. Тогда $DE = EF = FG = GD = x$.

По построению, сторона квадрата $EF$ параллельна основанию треугольника $AC$. Рассмотрим треугольники $EBF$ и $ABC$. Угол $\angle B$ у них общий. Поскольку $EF \parallel AC$, то углы $\angle BEF$ и $\angle BAC$ равны как соответственные при секущей $AB$. Следовательно, треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABC$ по двум углам ($\triangle EBF \sim \triangle ABC$).

Проведем высоту $BH$ из вершины $B$ на основание $AC$. Пусть она пересекает сторону квадрата $EF$ в точке $M$. Тогда $BM$ является высотой в треугольнике $EBF$, соответствующей основанию $EF$. Длина высоты $BH$ нам дана: $BH = h$. Длина отрезка $MH$ равна расстоянию между параллельными прямыми $EF$ и $AC$. Это расстояние равно стороне квадрата $x$. Таким образом, $MH = x$. Отсюда мы можем найти длину высоты $BM$: $$ BM = BH - MH = h - x $$

Для подобных треугольников отношение соответственных сторон равно отношению соответственных высот. Запишем это соотношение для треугольников $EBF$ и $ABC$: $$ \frac{EF}{AC} = \frac{BM}{BH} $$

Подставим в это равенство известные нам величины: $$ \frac{x}{a} = \frac{h-x}{h} $$

Теперь решим полученное уравнение относительно $x$. Используем свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних): $$ x \cdot h = a \cdot (h - x) $$ $$ hx = ah - ax $$ Перенесем все члены, содержащие $x$, в левую часть уравнения: $$ hx + ax = ah $$ Вынесем $x$ за скобки: $$ x(h + a) = ah $$ Найдем $x$: $$ x = \frac{ah}{a + h} $$

Ответ: $\frac{ah}{a + h}$