Номер 15.41, страница 118 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.41. В окружность вписан треугольник $ABC$, в котором проведены медианы $AF$ и $BK$. Медиану $AF$ продлили до пересечения с окружностью в точке $D$. Найдите стороны $AC$ и $BC$, если $BK = 63$ см, $AF = 45$ см, $FD = 24,2$ см.

15.41. В окружность вписан треугольник $ABC$, в котором проведены медианы $AF$ и $BK$. Медиану $AF$ продлили до пересечения с окружностью в точке $D$. Найдите стороны $AC$ и $BC$, если $BK = 63$ см, $AF = 45$ см, $FD = 24,2$ см.

Нахождение стороны BC

По условию, треугольник $ABC$ вписан в окружность. $AF$ — медиана, проведенная к стороне $BC$, следовательно, точка $F$ является серединой $BC$, и $BF = FC$. Медиана $AF$ продлена до пересечения с окружностью в точке $D$. Таким образом, отрезки $AD$ и $BC$ являются хордами окружности, пересекающимися в точке $F$.

Согласно теореме о пересекающихся хордах (свойство степени точки), произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой: $AF \cdot FD = BF \cdot FC$

Поскольку $F$ — середина $BC$, то $BF = FC$, и уравнение принимает вид: $AF \cdot FD = BF^2$

Подставим известные из условия значения: $AF = 45$ см и $FD = 24,2$ см. $BF^2 = 45 \cdot 24,2 = 1089$

Найдем длину отрезка $BF$: $BF = \sqrt{1089} = 33$ см.

Длина стороны $BC$ в два раза больше длины отрезка $BF$: $BC = 2 \cdot BF = 2 \cdot 33 = 66$ см.

Ответ: $BC = 66$ см.

Нахождение стороны AC

Для нахождения длины стороны $AC$ воспользуемся формулами для длин медиан треугольника. Обозначим стороны треугольника как $a = BC$, $b = AC$, $c = AB$, а медианы, проведенные к ним, как $m_a = AF$ и $m_b = BK$.

Формулы для квадратов длин медиан: $m_a^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} \implies 4 m_a^2 = 2b^2 + 2c^2 - a^2$ $m_b^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} \implies 4 m_b^2 = 2a^2 + 2c^2 - b^2$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными $b$ и $c$. Чтобы найти $b = AC$, исключим из системы $c^2 = AB^2$. Для этого вычтем первое уравнение из второго: $4(m_b^2 - m_a^2) = (2a^2 + 2c^2 - b^2) - (2b^2 + 2c^2 - a^2)$ $4(m_b^2 - m_a^2) = 3a^2 - 3b^2$

Выразим $b^2$ из полученного равенства: $3b^2 = 3a^2 - 4(m_b^2 - m_a^2)$ $b^2 = a^2 - \frac{4}{3}(m_b^2 - m_a^2)$

Подставим известные значения: $a = BC = 66$ см, $m_a = AF = 45$ см, $m_b = BK = 63$ см. $AC^2 = 66^2 - \frac{4}{3}(63^2 - 45^2)$

Вычислим значения квадратов: $66^2 = 4356$ $63^2 = 3969$ $45^2 = 2025$

Подставим их в формулу: $AC^2 = 4356 - \frac{4}{3}(3969 - 2025) = 4356 - \frac{4}{3}(1944)$ $AC^2 = 4356 - 4 \cdot 648 = 4356 - 2592 = 1764$

Найдем длину стороны $AC$: $AC = \sqrt{1764} = 42$ см.

Ответ: $AC = 42$ см.