Номер 15.36, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.36. В треугольнике $ABC$ $BC = 72$ см, $AD$ — высота, $AD = 24$ см. В данный треугольник вписан прямоугольник $MNKP$ так, что вершины $M$ и $P$ принадлежат стороне $BC$, а вершины $N$ и $K$ — сторонам $AB$ и $AC$ соответственно. Найдите стороны прямоугольника, если $MP : MN = 9 : 5$.

15.36. В треугольнике $ABC$ $BC = 72$ см, $AD$ — высота, $AD = 24$ см. В данный треугольник вписан прямоугольник $MNKP$ так, что вершины $M$ и $P$ принадлежат стороне $BC$, а вершины $N$ и $K$ — сторонам $AB$ и $AC$ соответственно. Найдите стороны прямоугольника, если $MP : MN = 9 : 5$.

Пусть $ABC$ — данный треугольник, $AD$ — его высота, проведенная к стороне $BC$. По условию, $BC = 72$ см и $AD = 24$ см.В треугольник вписан прямоугольник $MNKP$, где вершины $M$ и $P$ лежат на стороне $BC$, а вершины $N$ и $K$ — на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно. Это означает, что сторона $NK$ прямоугольника параллельна стороне $BC$ треугольника.

Из того, что $NK \parallel BC$, следует, что треугольник $ANK$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle A$ — общий, $\angle ANK = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $NK$ и $BC$ и секущей $AB$).

Обозначим стороны прямоугольника: $MN$ — высота, $MP$ — длина. По условию, $MP : MN = 9 : 5$.Пусть $MN = 5x$ и $MP = 9x$ для некоторого коэффициента $x > 0$.

Проведем высоту $AD$ треугольника $ABC$. Пусть она пересекает сторону $NK$ прямоугольника в точке $E$. Тогда $AE$ — это высота треугольника $ANK$.Высота прямоугольника $MN$ равна длине отрезка $ED$, так как $MN$ и $AD$ перпендикулярны $BC$.Следовательно, $MN = ED = 5x$.Высота треугольника $ANK$ равна $AE = AD - ED = 24 - 5x$.

Из подобия треугольников $ANK$ и $ABC$ следует, что отношение их высот равно отношению их оснований:

$\frac{AE}{AD} = \frac{NK}{BC}$

Сторона прямоугольника $NK$ равна его стороне $MP$, то есть $NK = MP = 9x$. Подставим все известные значения в пропорцию:

$\frac{24 - 5x}{24} = \frac{9x}{72}$

Решим полученное уравнение. Сначала упростим правую часть:

$\frac{24 - 5x}{24} = \frac{x}{8}$

Умножим обе части уравнения на 24, чтобы избавиться от знаменателя в левой части:

$24 - 5x = \frac{x}{8} \cdot 24$

$24 - 5x = 3x$

$24 = 3x + 5x$

$24 = 8x$

$x = \frac{24}{8} = 3$

Теперь найдем длины сторон прямоугольника, подставив значение $x$:

Длина $MP = 9x = 9 \cdot 3 = 27$ см.

Высота $MN = 5x = 5 \cdot 3 = 15$ см.

Ответ: стороны прямоугольника равны 27 см и 15 см.