Номер 15.33, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.33. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона соответственно равны 5 см и 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую к боковой стороне.

15.33. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона соответственно равны 5 см и 20 см. Найдите биссектрису треугольника, проведённую к боковой стороне.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$, в котором боковые стороны $AB = AC = 20$ см, а основание $BC = 5$ см. Нужно найти длину биссектрисы $BD$, проведенной из угла при основании $\angle ABC$ к боковой стороне $AC$.

1. Нахождение отрезков, на которые биссектриса делит сторону AC
Согласно свойству биссектрисы угла треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Для биссектрисы $BD$ это свойство записывается в виде отношения:
$ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} $
Подставим известные значения длин сторон:
$ \frac{AD}{DC} = \frac{20}{5} = 4 $
Отсюда получаем, что $ AD = 4 \cdot DC $.
Поскольку точка $D$ лежит на стороне $AC$, то $ AD + DC = AC $.
Подставим $ AD = 4 \cdot DC $ и $ AC = 20 $ см в это равенство:
$ 4 \cdot DC + DC = 20 $
$ 5 \cdot DC = 20 $
$ DC = \frac{20}{5} = 4 $ см.
Теперь найдем длину отрезка $AD$:
$ AD = 4 \cdot DC = 4 \cdot 4 = 16 $ см.

2. Вычисление длины биссектрисы BD
Длину биссектрисы треугольника можно найти по формуле, связывающей ее со сторонами треугольника и отрезками, на которые она делит противолежащую сторону. Для биссектрисы $BD$ формула имеет вид:
$ BD^2 = AB \cdot BC - AD \cdot DC $
Подставим известные и вычисленные значения:
$ BD^2 = 20 \cdot 5 - 16 \cdot 4 $
$ BD^2 = 100 - 64 $
$ BD^2 = 36 $
$ BD = \sqrt{36} = 6 $ см.

Ответ: 6 см.