Номер 15.28, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.28. Через точку $A$ проведены к окружности касательная $AM$ ($M$ — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках $K$ и $P$ (точка $K$ лежит между точками $A$ и $P$). Найдите отрезок $KP$, если $AM = 12$ см, $AP = 18$ см.

15.28. Через точку $A$ проведены к окружности касательная $AM$ ($M$ — точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках $K$ и $P$ (точка $K$ лежит между точками $A$ и $P$). Найдите отрезок $KP$, если $AM = 12$ см, $AP = 18$ см.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о касательной и секущей, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этой теореме, квадрат длины отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей от точки A до точек пересечения с окружностью.

В наших обозначениях эта теорема записывается в виде формулы:

$AM^2 = AK \cdot AP$

По условию задачи нам даны следующие значения: длина касательной $AM = 12$ см и длина всего отрезка секущей $AP = 18$ см.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти длину отрезка AK:

$12^2 = AK \cdot 18$

$144 = AK \cdot 18$

Выразим AK из этого уравнения:

$AK = \frac{144}{18} = 8$ см.

Из условия известно, что точка K лежит между точками A и P. Это означает, что отрезок AP состоит из двух отрезков: AK и KP. Таким образом, справедливо равенство:

$AP = AK + KP$

Чтобы найти искомую длину отрезка KP, нужно из длины всего отрезка AP вычесть длину его части AK:

$KP = AP - AK$

$KP = 18 - 8 = 10$ см.

Ответ: 10 см.