Номер 15.23, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.23. Хорды $MK$ и $NP$ окружности пересекаются в точке $F$. Известно, что $MF = 9$ см, $KF = 12$ см, а отрезок $NF$ в 3 раза длиннее отрезка $PF$. Найдите длину хорды $NP$.

15.23. Хорды $MK$ и $NP$ окружности пересекаются в точке $F$. Известно, что $MF = 9$ см, $KF = 12$ см, а отрезок $NF$ в 3 раза длиннее отрезка $PF$. Найдите длину хорды $NP$.

Для решения этой задачи используется теорема о пересекающихся хордах. Согласно этой теореме, если две хорды окружности пересекаются, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Для хорд MK и NP, пересекающихся в точке F, это свойство записывается в виде формулы:$MF \cdot KF = NF \cdot PF$

Из условия задачи нам даны следующие значения:$MF = 9$ см$KF = 12$ см

Также известно, что отрезок NF в 3 раза длиннее отрезка PF. Обозначим длину отрезка PF как $x$. Тогда длина отрезка NF будет $3x$.$PF = x$$NF = 3x$

Теперь подставим все значения в исходную формулу:$9 \cdot 12 = (3x) \cdot x$$108 = 3x^2$

Решим полученное уравнение, чтобы найти $x$:$x^2 = \frac{108}{3}$$x^2 = 36$$x = \sqrt{36} = 6$ см (мы берем только положительное значение, так как длина не может быть отрицательной).

Таким образом, мы нашли длины отрезков хорды NP:$PF = x = 6$ см$NF = 3x = 3 \cdot 6 = 18$ см

Длина всей хорды NP равна сумме длин её отрезков:$NP = NF + PF = 18 + 6 = 24$ см.

Ответ: 24 см.