Номер 15.27, страница 117 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.27. Точка $P$ делит хорду $MK$ окружности на два отрезка длиной 8 см и 12 см. Найдите расстояние от точки $P$ до центра окружности, если её радиус равен 11 см.

15.27. Точка $P$ делит хорду $MK$ окружности на два отрезка длиной 8 см и 12 см. Найдите расстояние от точки $P$ до центра окружности, если её радиус равен 11 см.

Пусть O — центр окружности, R — её радиус. По условию, $R = 11$ см. Хорда MK делится точкой P на отрезки длиной 8 см и 12 см. Обозначим их как $MP = 8$ см и $PK = 12$ см.

1. Найдём полную длину хорды MK. Она равна сумме длин её частей: $MK = MP + PK = 8 + 12 = 20$ см.

2. Проведём из центра O перпендикуляр OH на хорду MK. По свойству хорды, перпендикуляр из центра окружности делит её пополам. Таким образом, точка H является серединой отрезка MK, и мы можем найти длину отрезка MH: $MH = \frac{MK}{2} = \frac{20}{2} = 10$ см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMH$. Гипотенуза OM равна радиусу окружности ($OM = R = 11$ см), катет $MH = 10$ см. По теореме Пифагора найдём длину катета OH (расстояние от центра до хорды): $OM^2 = OH^2 + MH^2$ $11^2 = OH^2 + 10^2$ $121 = OH^2 + 100$ $OH^2 = 121 - 100 = 21$ $OH = \sqrt{21}$ см.

4. Точка P лежит на хорде MK. Расстояние от точки P до середины хорды H (точки H) можно найти как разность длин отрезков MH и MP: $PH = MH - MP = 10 - 8 = 2$ см.

5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OHP$, в котором катеты — это OH и PH, а гипотенуза — OP. Длина гипотенузы OP и является искомым расстоянием от точки P до центра окружности O. Снова применяем теорему Пифагора: $OP^2 = OH^2 + PH^2$ $OP^2 = (\sqrt{21})^2 + 2^2$ $OP^2 = 21 + 4 = 25$ $OP = \sqrt{25} = 5$ см.

Ответ: 5 см.