Номер 15.20, страница 116 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.20. Найдите высоту дерева, если длина его тени равна 8,4 м, а длина тени от вертикального столба высотой 2 м в это же время суток равна 2,4 м (рис. 15.16).

2 м

2,4 м

8,4 м

Рис. 15.16

15.20. Найдите высоту дерева, если длина его тени равна $8,4 \text{ м}$, а длина тени от вертикального столба высотой $2 \text{ м}$ в это же время суток равна $2,4 \text{ м}$ (рис. 15.16).

Рис. 15.16

В один и тот же момент времени солнечные лучи падают на землю под одним и тем же углом. Дерево и столб стоят вертикально, образуя с землей прямой угол. Таким образом, дерево со своей тенью и столб со своей тенью образуют два подобных прямоугольных треугольника.

В подобных треугольниках отношение длин соответствующих сторон равно. Пусть высота дерева равна $x$ метров. Мы можем составить пропорцию, приравнивая отношение высоты объекта к длине его тени для столба и для дерева:

$ \frac{\text{Высота столба}}{\text{Длина тени столба}} = \frac{\text{Высота дерева}}{\text{Длина тени дерева}} $

Подставим известные из условия задачи значения:

Высота столба = 2 м
Длина тени столба = 2,4 м
Длина тени дерева = 8,4 м

Получаем следующее уравнение: $ \frac{2}{2,4} = \frac{x}{8,4} $

Теперь решим это уравнение, чтобы найти $x$: $ x = 8,4 \cdot \frac{2}{2,4} $

$ x = \frac{16,8}{2,4} $

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 10: $ x = \frac{168}{24} $

$ x = 7 $

Следовательно, высота дерева составляет 7 метров.

Ответ: 7 м.