Номер 15.15, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.15. Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 28 см и 63 см. Известно, что $\angle ABC = \angle ACD$. Найдите диагональ $AC$.

15.15. Основания $BC$ и $AD$ трапеции $ABCD$ равны соответственно 28 см и 63 см. Известно, что $\angle ABC = \angle ACD$. Найдите диагональ $AC$.

Дано: $ABCD$ – трапеция, $BC$ и $AD$ – основания, $BC = 28$ см, $AD = 63$ см, $\angle ABC = \angle ACD$.

Найти: $AC$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle DCA$.

1. Угол $\angle BCA$ равен углу $\angle CAD$, так как они являются накрест лежащими углами при параллельных прямых $BC$ и $AD$ (основания трапеции) и секущей $AC$.

2. По условию задачи $\angle ABC = \angle ACD$.

Поскольку два угла одного треугольника ($\triangle ABC$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($\triangle DCA$), эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

$\triangle ABC \sim \triangle DCA$

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:
$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD} = \frac{AB}{CD}$

Возьмем первую часть этого соотношения:
$\frac{BC}{AC} = \frac{AC}{AD}$

Отсюда можно выразить $AC^2$:
$AC^2 = BC \cdot AD$

Подставим известные значения оснований $BC$ и $AD$:
$AC^2 = 28 \cdot 63$
$AC^2 = 1764$

Теперь найдем длину $AC$, извлекая квадратный корень:
$AC = \sqrt{1764} = 42$ (см)

Ответ: 42 см.