Номер 15.9, страница 115 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.9. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $AD = 18$ см, $BC = 14$ см, $AC = 24$ см. Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит диагональ $AC$.

15.9. В трапеции $ABCD$ ($BC \parallel AD$) $AD = 18 \text{ см}$, $BC = 14 \text{ см}$, $AC = 24 \text{ см}$.

Найдите отрезки, на которые точка пересечения диагоналей делит диагональ $AC$.

Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в этой точке.

Рассмотрим треугольники $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$.

Поскольку $BC \parallel AD$ по определению трапеции, то:

• $\angle BOC = \angle DOA$ (как вертикальные углы).
• $\angle BCA = \angle CAD$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

Следовательно, треугольник $\triangle BOC$ подобен треугольнику $\triangle DOA$ по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$\frac{AO}{CO} = \frac{DO}{BO} = \frac{AD}{BC}$

Нас интересует, на какие отрезки точка O делит диагональ AC. Используем соотношение:

$\frac{AO}{CO} = \frac{AD}{BC}$

Подставим известные значения длин оснований $AD = 18$ см и $BC = 14$ см:

$\frac{AO}{CO} = \frac{18}{14} = \frac{9}{7}$

Это означает, что отрезки AO и CO относятся как 9 к 7. Обозначим длину отрезка AO как $9x$, а длину отрезка CO как $7x$.

Длина всей диагонали AC нам известна и равна 24 см. Таким образом, мы можем составить уравнение:

$AO + CO = AC$

$9x + 7x = 24$

$16x = 24$

$x = \frac{24}{16} = \frac{3}{2} = 1.5$

Теперь найдем длины искомых отрезков:

$AO = 9x = 9 \cdot 1.5 = 13.5$ см.

$CO = 7x = 7 \cdot 1.5 = 10.5$ см.

Ответ: точка пересечения диагоналей делит диагональ AC на отрезки длиной 13.5 см и 10.5 см.