Номер 15.4, страница 114 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.4. Укажите пары подобных треугольников, изображённых на рисунке 15.12, найдите длину отрезка $x$ (размеры даны в сантиметрах).

а) Пара подобных треугольников: $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$.

Они подобны по двум углам: $\angle A$ – общий угол, $\angle BCA = \angle ADE = 90^\circ$.

Соотношение соответствующих сторон:

$\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$

Известные длины: $AB=5$, $BC=3$, $AC=4$, $CE=6$, $DE=x$.

Длина отрезка $AE = AC + CE = 4 + 6 = 10$.

Для нахождения $x$ используем соотношение: $\frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE}$

$\frac{4}{10} = \frac{3}{x}$

б) Пара подобных треугольников: $\triangle ACB$ и $\triangle ADE$.

Они подобны по двум углам: $\angle A$ – общий угол, $\angle ACB = \angle ADE$ (из отметок на рисунке).

Соотношение соответствующих сторон:

$\frac{AC}{AD} = \frac{CB}{DE} = \frac{AB}{AE}$

Известные длины: $AB=15$, $AC=18$, $BC=x$, $DE=21$.

Для нахождения $x$ используем соотношение:

$\frac{x}{21} = \frac{18}{AD}$ или $\frac{x}{21} = \frac{15}{AE}$

15.4. Укажите пары подобных треугольников, изображённых на рисунке 15.12, найдите длину отрезка $x$ (размеры даны в сантиметрах).

a

Пара подобных треугольников: $\triangle ABC$ и $\triangle ADE$.

Известные длины:

$BC = 3$

$AC = 4$

$AB = 5$

$CE = 6$

$DE = x$

Соотношение сторон для нахождения $x$:

$AC / AE = BC / DE$

$4 / (4 + 6) = 3 / x$

$4 / 10 = 3 / x$

б

Пара подобных треугольников: $\triangle ABC$ и $\triangle DEC$.

Известные длины:

$AB = 15$

$AC = 18$

$DC = 21$

$DE = x$

Соотношение сторон для нахождения $x$:

$AB / DE = AC / DC$

$15 / x = 18 / 21$

Рис. 15.12

а

Для нахождения подобных треугольников на рисунке а рассмотрим треугольники $△ACB$ и $△ADE$.

1. Угол $∠A$ (или $∠CAB$) является общим для обоих треугольников.

2. На рисунке показано, что $BC \perp AE$ и $DE \perp AD$. Это означает, что углы $∠ACB$ и $∠ADE$ являются прямыми, то есть $∠ACB = 90°$ и $∠ADE = 90°$.

Поскольку два угла одного треугольника ($∠A$ и $∠ACB$) соответственно равны двум углам другого треугольника ($∠A$ и $∠ADE$), то эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Таким образом, мы установили пару подобных треугольников: $△ACB \sim △ADE$.

Из подобия треугольников следует, что их соответственные стороны пропорциональны:

$$ \frac{AC}{AD} = \frac{CB}{DE} = \frac{AB}{AE} $$

Из условия задачи нам известны следующие длины: $AC = 4$, $CB = 3$, $AB = 5$ и $CE = 6$. Длину отрезка $DE$ обозначим как $x$.

Сначала найдем длину стороны $AE$. Так как точка $C$ лежит на отрезке $AE$, то $AE = AC + CE$.

$AE = 4 + 6 = 10$ см.

Теперь воспользуемся пропорцией $ \frac{CB}{DE} = \frac{AB}{AE} $. Подставим известные значения:

$$ \frac{3}{x} = \frac{5}{10} $$

Упростим правую часть уравнения:

$$ \frac{3}{x} = \frac{1}{2} $$

Из этой пропорции находим $x$:

$x = 3 \cdot 2 = 6$ см.

Ответ: пара подобных треугольников — $△ACB$ и $△ADE$; $x = 6$ см.

б

Для нахождения подобных треугольников на рисунке б рассмотрим треугольники $△ABC$ и $△DEC$.

1. Углы $∠BCA$ и $∠ECD$ равны как вертикальные углы, образованные при пересечении прямых $AE$ и $BD$.

2. Углы $∠BAC$ и $∠EDC$ равны по условию, так как на рисунке они отмечены одинаковыми дугами.

Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $△ABC$ и $△DEC$ подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Таким образом, пара подобных треугольников: $△ABC \sim △DEC$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон:

$$ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DC} = \frac{BC}{EC} $$

Из условия задачи нам известны следующие длины: $AB = 15$, $AC = 18$, $DE = 21$. Длину отрезка $DC$ обозначим как $x$.

Для нахождения $x$ воспользуемся пропорцией $ \frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DC} $. Подставим известные значения:

$$ \frac{15}{21} = \frac{18}{x} $$

Сократим дробь в левой части на 3:

$$ \frac{5}{7} = \frac{18}{x} $$

По основному свойству пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) получаем:

$5 \cdot x = 7 \cdot 18$

$5x = 126$

$x = \frac{126}{5} = 25,2$ см.

Ответ: пара подобных треугольников — $△ABC$ и $△DEC$; $x = 25,2$ см.