Номер 14.20, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.20. В треугольнике $ABC$ $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $\angle ABC = 120^\circ$, отрезок $BD$ — биссектриса. Найдите отрезок $BD$.

14.20. В треугольнике $ABC$ $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, $\angle ABC = 120^\circ$, отрезок $BD$ — биссектриса. Найдите отрезок $BD$.

Для решения этой задачи воспользуемся методом площадей. Площадь треугольника $ABC$ равна сумме площадей треугольников $ABD$ и $CBD$.

1. Найдем площадь треугольника $ABC$.Площадь треугольника можно вычислить по формуле $S = \frac{1}{2}ab\sin\gamma$, где $a$ и $b$ — две стороны треугольника, а $\gamma$ — угол между ними.В нашем случае $AB = 8$ см, $BC = 12$ см, а угол $\angle ABC = 120^\circ$.$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin(\angle ABC) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin(120^\circ)$.Зная, что $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4 \cdot 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 24\sqrt{3}$ см$^2$.

2. Выразим площади треугольников $ABD$ и $CBD$ через длину биссектрисы $BD$.Обозначим длину отрезка $BD$ за $x$.Поскольку $BD$ — биссектриса угла $\angle ABC$, она делит его на два равных угла:$\angle ABD = \angle CBD = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.Теперь найдем площади малых треугольников:$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin(\angle ABD) = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot x \cdot \sin(60^\circ) = 4x \frac{\sqrt{3}}{2} = 2x\sqrt{3}$.$S_{\triangle CBD} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BD \cdot \sin(\angle CBD) = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot x \cdot \sin(60^\circ) = 6x \frac{\sqrt{3}}{2} = 3x\sqrt{3}$.

3. Составим и решим уравнение.Площадь большого треугольника равна сумме площадей двух малых:$S_{\triangle ABC} = S_{\triangle ABD} + S_{\triangle CBD}$.Подставляем полученные значения:$24\sqrt{3} = 2x\sqrt{3} + 3x\sqrt{3}$.$24\sqrt{3} = 5x\sqrt{3}$.Разделим обе части уравнения на $\sqrt{3}$ (поскольку $\sqrt{3} \ne 0$):$24 = 5x$.$x = \frac{24}{5} = 4,8$.Следовательно, длина отрезка $BD$ равна 4,8 см.

Ответ: 4,8 см.