Вопросы, страница 113 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

1. Сформулируйте первый признак подобия треугольников.

2. Сформулируйте свойство пересекающихся хорд.

3. Сформулируйте свойство касательной и секущей, проведённых к окружности через одну точку.

4. Сформулируйте теорему Птолемея.

1. Сформулируйте первый признак подобия треугольников.

2. Сформулируйте свойство пересекающихся хорд.

3. Сформулируйте свойство касательной и секущей, проведённых к окружности через одну точку.

4. Сформулируйте теорему Птолемея.

1. Сформулируйте первый признак подобия треугольников.

Первый признак подобия треугольников, также известный как признак подобия по двум углам, гласит: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

То есть, для двух треугольников $ \triangle ABC $ и $ \triangle A_1B_1C_1 $ достаточно выполнения условий $ \angle A = \angle A_1 $ и $ \angle B = \angle B_1 $, чтобы утверждать, что $ \triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1 $. Из этого следует, что и третьи углы равны ($ \angle C = \angle C_1 $), а соответствующие стороны пропорциональны: $ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} $.

Ответ: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

2. Сформулируйте свойство пересекающихся хорд.

Свойство пересекающихся хорд (или теорема о произведении отрезков хорд) утверждает, что если две хорды окружности пересекаются в некоторой точке, то произведение длин отрезков одной хорды равно произведению длин отрезков другой хорды.

Если хорды $ AB $ и $ CD $ пересекаются в точке $ P $, то, согласно этому свойству, выполняется следующее равенство: $ AP \cdot PB = CP \cdot PD $

Ответ: $ AP \cdot PB = CP \cdot PD $, где $ P $ – точка пересечения хорд $ AB $ и $ CD $.

3. Сформулируйте свойство касательной и секущей, проведённых к окружности через одну точку.

Свойство касательной и секущей (или теорема о касательной и секущей) гласит: если из точки, лежащей вне окружности, к ней проведены касательная и секущая, то квадрат длины отрезка касательной от этой точки до точки касания равен произведению длины всего отрезка секущей на его внешнюю часть.

Пусть из точки $ M $, лежащей вне окружности, проведена касательная $ MA $ (где $ A $ – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $ B $ и $ C $. Тогда выполняется равенство: $ MA^2 = MB \cdot MC $

Ответ: $ MA^2 = MB \cdot MC $, где $ MA $ – отрезок касательной от точки $ M $ до точки касания, а $ MC $ – отрезок секущей от точки $ M $ до дальней точки пересечения с окружностью, $ MB $ – его внешняя часть.

4. Сформулируйте теорему Птолемея.

Теорема Птолемея устанавливает соотношение между сторонами и диагоналями вписанного (циклического) четырёхугольника. Она гласит, что во всяком четырёхугольнике, вписанном в окружность, произведение длин диагоналей равно сумме произведений длин его противолежащих сторон.

Если четырёхугольник $ ABCD $ вписан в окружность, то для него справедливо следующее равенство: $ AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD $

Ответ: Для вписанного в окружность четырёхугольника $ ABCD $ верно равенство $ AC \cdot BD = AB \cdot CD + BC \cdot AD $.