Номер 15.2, страница 114 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

15.2. На рисунке 15.10 $DE \perp AB$, $BC \perp AD$. Укажите все пары подобных треугольников, изображённых на этом рисунке.

Рис. 15.10

15.2. На рисунке 15.10 $DE \perp AB$, $BC \perp AD$. Укажите все пары подобных треугольников, изображённых на этом рисунке.

Рис. 15.10

Для того чтобы найти все пары подобных треугольников на рисунке, воспользуемся признаками подобия треугольников.

1. Рассмотрим треугольники $ \triangle AED $ и $ \triangle ACB $. Из условия задачи известно, что $ DE \perp AB $ и $ BC \perp AD $. Это означает, что углы $ \angle AED $ и $ \angle ACB $ являются прямыми: $ \angle AED = 90^\circ $ и $ \angle ACB = 90^\circ $. Угол $ \angle A $ является общим для обоих треугольников ($ \angle EAD = \angle CAB $). Поскольку два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, эти треугольники подобны по первому признаку подобия (по двум углам). Следовательно, первая пара подобных треугольников: $ \triangle AED \sim \triangle ACB $.

2. Из подобия треугольников $ \triangle AED \sim \triangle ACB $ следует пропорциональность их соответствующих сторон: $ \frac{AE}{AC} = \frac{AD}{AB} $ Перепишем это соотношение в виде: $ \frac{AC}{AD} = \frac{AE}{AB} $ Теперь рассмотрим треугольники $ \triangle ACE $ и $ \triangle ADB $. Угол $ \angle A $ ($ \angle CAE = \angle DAB $) является общим для этих двух треугольников. Стороны, образующие этот угол в обоих треугольниках, пропорциональны, как мы показали выше: $ \frac{AC}{AD} = \frac{AE}{AB} $. Следовательно, $ \triangle ACE \sim \triangle ADB $ по второму признаку подобия (по двум сторонам и углу между ними). Это вторая пара подобных треугольников.

Таким образом, на рисунке изображены как минимум две пары подобных треугольников.

Ответ: $ \triangle AED \sim \triangle ACB $ и $ \triangle ACE \sim \triangle ADB $.