Номер 14.22, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.22. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведённой к третьей стороне.

14.22. Постройте треугольник по двум сторонам и биссектрисе, проведенной к третьей стороне.

Пусть даны длины двух сторон треугольника $a$ и $b$, и длина биссектрисы $l_c$, проведённой к третьей стороне из вершины угла между данными сторонами. Требуется построить треугольник $ABC$ такой, что $BC=a$, $AC=b$, и биссектриса $CD$ угла $C$ (где $D \in AB$) имеет длину $l_c$.

Сначала проведём анализ задачи. Предположим, что искомый треугольник $ABC$ уже построен. Продлим сторону $AC$ за точку $C$ на отрезок $CE$, равный стороне $BC=a$. Таким образом, точка $E$ лежит на прямой $AC$ и $AE = AC + CE = b + a$. В получившемся треугольнике $BCE$, поскольку $CB = CE = a$, он является равнобедренным. Угол $ACB$ является внешним углом треугольника $BCE$ при вершине $C$, поэтому он равен сумме двух внутренних, не смежных с ним, углов: $\angle ACB = \angle CBE + \angle CEB$. Так как треугольник $BCE$ равнобедренный, $\angle CBE = \angle CEB$, и, следовательно, $\angle CEB = \frac{1}{2}\angle ACB$.

По условию, $CD$ — биссектриса угла $ACB$, поэтому $\angle ACD = \frac{1}{2}\angle ACB$. Отсюда следует, что $\angle ACD = \angle CEB$. Углы $\angle ACD$ и $\angle CEB$ являются соответственными при прямых $CD$ и $BE$ и секущей $AE$, значит, прямые $CD$ и $BE$ параллельны ($CD \parallel BE$).

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Так как $CD \parallel BE$, то треугольники $ACD$ и $ABE$ подобны. Из подобия следует отношение сторон: $\frac{AC}{AE} = \frac{CD}{BE}$. Подставляя известные длины, получаем: $\frac{b}{a+b} = \frac{l_c}{BE}$. Из этой пропорции можно выразить длину отрезка $BE$: $BE = l_c \cdot \frac{a+b}{b}$. Длину этого отрезка можно построить с помощью циркуля и линейки как четвертый пропорциональный отрезок. Таким образом, задача сводится к построению точки $B$, которая является точкой пересечения двух окружностей: с центром в точке $C$ и радиусом $a$, и с центром в точке $E$ и радиусом $BE$.

На основе проведённого анализа можно описать следующий алгоритм построения:

1. На произвольной прямой отложить отрезок $AC$ длиной $b$.
2. На продолжении этого отрезка за точку $C$ отложить отрезок $CE$ длиной $a$.
3. Построить отрезок длиной $BE = l_c \cdot \frac{a+b}{b}$. Это построение четвертого пропорционального отрезка: на сторонах произвольного угла от его вершины откладываются отрезки $b$ и $l_c$, а на первой стороне также откладывается отрезок $a+b$; затем через концы отрезков $b$ и $l_c$ проводится прямая, и параллельно ей проводится прямая через конец отрезка $a+b$. Полученный на второй стороне угла отрезок будет иметь искомую длину $BE$.
4. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$.
5. Построить окружность с центром в точке $E$ и радиусом, равным построенной длине $BE$.
6. Точка пересечения этих двух окружностей (любая из двух) и будет вершиной $B$ искомого треугольника.
7. Соединить точки $A$, $B$ и $C$, чтобы получить искомый треугольник $ABC$.

Докажем, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет условиям задачи. По построению, $AC = b$ и $BC = a$. Необходимо доказать, что биссектриса угла $C$ равна $l_c$. По построению, $CE = a$, следовательно, треугольник $BCE$ равнобедренный ($CB=CE=a$), и $\angle CEB = \frac{1}{2}\angle ACB$. Пусть $CD'$ — биссектриса угла $ACB$. Тогда $\angle ACD' = \frac{1}{2}\angle ACB = \angle CEB$. Равенство соответственных углов $\angle ACD'$ и $\angle CEB$ при секущей $AE$ означает, что $CD' \parallel BE$. Из подобия треугольников $ACD'$ и $ABE$ следует, что $\frac{CD'}{BE} = \frac{AC}{AE}$. Отсюда $CD' = BE \cdot \frac{AC}{AE}$. Подставляя значения из построения ($BE = l_c \cdot \frac{a+b}{b}$, $AC = b$, $AE = a+b$), получаем: $CD' = \left(l_c \cdot \frac{a+b}{b}\right) \cdot \frac{b}{a+b} = l_c$. Доказательство завершено.

Задача имеет решение, если окружности, построенные на шагах 4 и 5, пересекаются. Это произойдет, если для треугольника $BCE$ выполняется неравенство треугольника: $|BC - BE| < CE < BC + BE$. Подставляя значения, получаем: $|a - BE| < a < a + BE$. Это неравенство равносильно условию $BE < 2a$, или $l_c \cdot \frac{a+b}{b} < 2a$, что эквивалентно $l_c < \frac{2ab}{a+b}$. Если это условие выполнено, задача имеет единственное (с точностью до конгруэнтности) решение.

Ответ: Искомый треугольник строится следующим образом.

1. Строится отрезок $AE$ длиной $a+b$. На нем отмечается точка $C$ так, что $AC=b$ и $CE=a$.
2. Строится отрезок $s$ длиной $s = l_c \cdot \frac{a+b}{b}$ (как четвертый пропорциональный).
3. Находится точка $B$ как пересечение окружности с центром $C$ и радиусом $a$ и окружности с центром $E$ и радиусом $s$.
4. Треугольник $ABC$ является искомым.