Номер 14.15, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.15. На рисунке 14.11 изображены прямоугольный треугольник ABC ($\angle B = 90^\circ$) и вписанный в него квадрат BМKN. Найдите отрезок CN, если $BМ = 6$ см, $AB = 10$ см.

Рис. 14.11

14.15. На рисунке 14.11 изображены прямоугольный треугольник ABC ($ \angle B = 90^\circ $) и вписанный в него квадрат $BMKN$. Найдите отрезок $CN$, если $BM = 6$ см, $AB = 10$ см.

Рис. 14.11

Поскольку $BMKN$ — это квадрат, вписанный в прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $B$, то все его стороны равны между собой. По условию задачи $BM = 6$ см, следовательно, $BM = MK = KN = NB = 6$ см.
Точка $M$ лежит на катете $AB$. Зная длины отрезков $AB$ и $BM$, мы можем найти длину отрезка $AM$:
$AM = AB - BM = 10 \text{ см} - 6 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Рассмотрим треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle KNC$.
Так как $BMKN$ — квадрат, его сторона $MK$ параллельна катету $BC$ (поскольку обе перпендикулярны катету $AB$). Аналогично, сторона $KN$ параллельна катету $AB$ (поскольку обе перпендикулярны катету $BC$).
Из-за того, что $MK \parallel BC$, треугольник $\triangle AMK$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ (по двум углам: $\angle A$ — общий, а $\angle AMK = \angle ABC = 90^\circ$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $BC$ и секущей $AB$).
Также, поскольку $KN \parallel AB$, треугольник $\triangle KNC$ подобен треугольнику $\triangle ABC$ (по двум углам: $\angle C$ — общий, а $\angle KNC = \angle ABC = 90^\circ$ как соответственные углы при параллельных прямых $KN$ и $AB$ и секущей $BC$).
Так как оба треугольника $\triangle AMK$ и $\triangle KNC$ подобны одному и тому же треугольнику $\triangle ABC$, они подобны и между собой: $\triangle AMK \sim \triangle KNC$.
Из подобия треугольников следует, что отношение их соответствующих катетов равно:
$\frac{AM}{KN} = \frac{MK}{NC}$
Подставим известные значения в эту пропорцию: $AM = 4$ см, $KN = 6$ см и $MK = 6$ см.
$\frac{4}{6} = \frac{6}{CN}$
Теперь решим полученное уравнение для нахождения $CN$:
$4 \cdot CN = 6 \cdot 6$
$4 \cdot CN = 36$
$CN = \frac{36}{4}$
$CN = 9$ см.
Ответ: 9 см.