Номер 14.17, страница 108 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.17. Точка D принадлежит стороне AC треугольника ABC. Точки M и N принадлежат сторонам AB и BC соответственно, F — точка пересечения отрезков MN и BD. Докажите, что если MN || AC, то $ \frac{MF}{FN} = \frac{AD}{DC} $.

14.17. Точка D принадлежит стороне AC треугольника ABC. Точки M и N принадлежат сторонам AB и BC соответственно, F — точка пересечения отрезков MN и BD. Докажите, что если $MN \parallel AC$, то $ \frac{MF}{FN} = \frac{AD}{DC} $.

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом подобных треугольников.

1. Рассмотрим треугольники $ABD$ и $MBF$.

По условию задачи, прямая $MN$ параллельна прямой $AC$ ($MN \parallel AC$). Так как точки $M$, $F$ лежат на прямой $MN$, а точки $A$, $D$ — на прямой $AC$, то прямая $MF$ параллельна прямой $AD$ ($MF \parallel AD$).

В треугольниках $ABD$ и $MBF$:

• $\angle ABD$ — общий угол.
• $\angle BMF = \angle BAD$ как соответственные углы при параллельных прямых $MF$ и $AD$ и секущей $AB$.

Следовательно, треугольник $MBF$ подобен треугольнику $ABD$ по двум углам ($\triangle MBF \sim \triangle ABD$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{MF}{AD} = \frac{BF}{BD}$ (1)

2. Рассмотрим треугольники $CBD$ и $NBF$.

Аналогично, так как $MN \parallel AC$, то прямая $FN$ параллельна прямой $DC$ ($FN \parallel DC$).

В треугольниках $CBD$ и $NBF$:

• $\angle CBD$ — общий угол.
• $\angle BNF = \angle BCD$ как соответственные углы при параллельных прямых $FN$ и $DC$ и секущей $BC$.

Следовательно, треугольник $NBF$ подобен треугольнику $CBD$ по двум углам ($\triangle NBF \sim \triangle CBD$).

Из подобия этих треугольников следует:

$\frac{FN}{DC} = \frac{BF}{BD}$ (2)

3. Сопоставление результатов.

Сравнивая равенства (1) и (2), мы видим, что их правые части равны. Следовательно, мы можем приравнять их левые части:

$\frac{MF}{AD} = \frac{FN}{DC}$

Чтобы получить требуемое в условии задачи соотношение, преобразуем данное равенство (используя основное свойство пропорции):

$\frac{MF}{FN} = \frac{AD}{DC}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.