Номер 14.10, страница 107 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.10. Докажите, что любые два равносторонних треугольника подобны.

14.10. Докажите, что любые два равносторонних треугольника подобны.

Для доказательства утверждения рассмотрим два произвольных равносторонних треугольника: $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$.

По определению, равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны равны. Из этого свойства следует, что все углы равностороннего треугольника также равны. Так как сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$, каждый угол равностороннего треугольника равен:

$\frac{180^\circ}{3} = 60^\circ$

Таким образом, для треугольника $\triangle ABC$ мы имеем: $\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ$.

Аналогично для треугольника $\triangle A_1B_1C_1$: $\angle A_1 = \angle B_1 = \angle C_1 = 60^\circ$.

Для доказательства подобия треугольников воспользуемся первым признаком подобия, который гласит: если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Сравним углы наших треугольников. Мы видим, что:

$\angle A = \angle A_1 = 60^\circ$

$\angle B = \angle B_1 = 60^\circ$

Поскольку мы нашли две пары соответственно равных углов, условие первого признака подобия выполняется. Следовательно, треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ подобны ($\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1$).

Так как треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle A_1B_1C_1$ были выбраны произвольно, это означает, что любые два равносторонних треугольника подобны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Поскольку все углы любого равностороннего треугольника равны $60^\circ$, по первому признаку подобия (по двум углам) любые два равносторонних треугольника подобны.