Номер 14.8, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.8. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Найдите отрезок $CE$, если $DE = 40$ см, $BC : AD = 4 : 5$.

14.8. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Найдите отрезок $CE$, если $DE = 40 \text{ см}$, $BC : AD = 4 : 5$.

Пусть дана трапеция $ABCD$, в которой $BC$ и $AD$ являются основаниями. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle ADE$.

Поскольку $ABCD$ — трапеция, её основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

1. Угол $\angle E$ является общим для треугольников $\triangle BCE$ и $\triangle ADE$.
2. Углы $\angle EBC$ и $\angle EAD$ являются соответственными при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AE$, следовательно, они равны.

Так как два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то треугольники $\triangle BCE$ и $\triangle ADE$ подобны по первому признаку подобия.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответственных сторон: $$ \frac{BC}{AD} = \frac{CE}{DE} = \frac{BE}{AE} $$

По условию задачи нам дано соотношение оснований $BC : AD = 4 : 5$, или $\frac{BC}{AD} = \frac{4}{5}$. Также известно, что длина отрезка $DE = 40$ см.

Подставим известные значения в пропорцию, связывающую интересующие нас стороны: $$ \frac{4}{5} = \frac{CE}{40} $$

Выразим из этого равенства искомую длину отрезка $CE$: $CE = 40 \cdot \frac{4}{5} = 8 \cdot 4 = 32$ см.

Ответ: 32 см.