Номер 14.1, страница 106 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

14.1. На рисунке 14.7 изображены подобные треугольники $ABC$ и $DEF$, равные углы которых отметили одинаковым количеством дуг. Какие стороны этих треугольников пропорциональны? Запишите соответствующие равенства.

Стороны этих треугольников пропорциональны следующим образом:

$\frac{AB}{EF} = \frac{BC}{FD} = \frac{AC}{ED}$

Рис. 14.7

14.1. На рисунке 14.7 изображены подобные треугольники ABC и DEF, равные углы которых отметили одинаковым количеством дуг. Какие стороны этих треугольников пропорциональны? Запишите соответствующие равенства.

$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$

Рис. 14.7

По определению, подобные треугольники — это треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого. Соответственные стороны — это стороны, которые лежат напротив равных углов.

В задаче даны подобные треугольники $ABC$ и $DEF$. Равные углы на рисунке отмечены одинаковым количеством дуг.

1. Найдем пары равных углов:

• Угол $A$ в треугольнике $ABC$ и угол $D$ в треугольнике $DEF$ отмечены одной дугой, следовательно, $∠A = ∠D$.
• Угол $C$ в треугольнике $ABC$ и угол $F$ в треугольнике $DEF$ отмечены двумя дугами, следовательно, $∠C = ∠F$.
• Поскольку сумма углов в любом треугольнике равна $180°$, то и третьи углы этих треугольников равны: $∠B = ∠E$.

2. Определим соответственные (пропорциональные) стороны. Это стороны, лежащие напротив равных углов:

• Напротив равных углов $∠C$ и $∠F$ лежат стороны $AB$ и $DE$ соответственно. Значит, сторона $AB$ пропорциональна стороне $DE$.
• Напротив равных углов $∠A$ и $∠D$ лежат стороны $BC$ и $EF$ соответственно. Значит, сторона $BC$ пропорциональна стороне $EF$.
• Напротив равных углов $∠B$ и $∠E$ лежат стороны $AC$ и $DF$ соответственно. Значит, сторона $AC$ пропорциональна стороне $DF$.

3. Запишем равенства, показывающие пропорциональность сторон. Отношение длин соответственных сторон равно коэффициенту подобия.

Ответ: Пропорциональны стороны $AB$ и $DE$, $BC$ и $EF$, $AC$ и $DF$. Соответствующие равенства: $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$.