Номер 13.20, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.20. Точки $K, L, M$ и $N$ — соответственно середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$. Прямые $AL$ и $CK$ пересекаются в точке $P$, прямые $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, что если четырёхугольник $APCQ$ — параллелограмм, то четырёхугольник $ABCD$ также является параллелограммом.

13.20. Точки $K, L, M$ и $N$ — соответственно середины сторон $AB, BC, CD$ и $DA$ четырёхугольника $ABCD$. Прямые $AL$ и $CK$ пересекаются в точке $P$, прямые $AM$ и $CN$ пересекаются в точке $Q$. Докажите, что если четырёхугольник $APCQ$ — параллелограмм, то четырёхугольник $ABCD$ также является параллелограммом.

Для решения задачи воспользуемся векторным методом. Пусть вершины четырехугольника $ABCD$ заданы радиус-векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$, $\vec{d}$ соответственно.

По условию, точки $K, L, M, N$ — середины сторон $AB, BC, CD, DA$. Их радиус-векторы можно выразить через векторы вершин:
$\vec{k} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2}$
$\vec{l} = \frac{\vec{b} + \vec{c}}{2}$
$\vec{m} = \frac{\vec{c} + \vec{d}}{2}$
$\vec{n} = \frac{\vec{d} + \vec{a}}{2}$

Найдем радиус-вектор точки P.
Точка $P$ является точкой пересечения прямых $AL$ и $CK$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Отрезок $AL$ соединяет вершину $A$ с серединой противолежащей стороны $BC$ (точкой $L$). Следовательно, $AL$ является медианой треугольника $\triangle ABC$. Аналогично, отрезок $CK$ соединяет вершину $C$ с серединой противолежащей стороны $AB$ (точкой $K$). Следовательно, $CK$ также является медианой треугольника $\triangle ABC$. Точка $P$ — точка пересечения медиан $AL$ и $CK$, значит, $P$ — центроид (точка пересечения медиан) треугольника $\triangle ABC$. Радиус-вектор центроида равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин:
$\vec{p} = \frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}$

Найдем радиус-вектор точки Q.
Точка $Q$ является точкой пересечения прямых $AM$ и $CN$. Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой противолежащей стороны $CD$ (точкой $M$). Следовательно, $AM$ является медианой треугольника $\triangle ACD$. Аналогично, отрезок $CN$ соединяет вершину $C$ с серединой противолежащей стороны $DA$ (точкой $N$). Следовательно, $CN$ также является медианой треугольника $\triangle ACD$. Точка $Q$ — точка пересечения медиан $AM$ и $CN$, значит, $Q$ — центроид треугольника $\triangle ACD$. Его радиус-вектор:
$\vec{q} = \frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}$

Используем условие, что APCQ — параллелограмм.
Четырёхугольник является параллелограммом тогда и только тогда, когда середины его диагоналей совпадают. Для параллелограмма $APCQ$ это означает, что середина диагонали $AC$ совпадает с серединой диагонали $PQ$. В векторной форме это условие записывается как:
$\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{p} + \vec{q}}{2}$
Отсюда следует равенство:
$\vec{a} + \vec{c} = \vec{p} + \vec{q}$

Подставим найденные выражения для $\vec{p}$ и $\vec{q}$ в это равенство:
$\vec{a} + \vec{c} = \left(\frac{\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3}\right) + \left(\frac{\vec{a} + \vec{c} + \vec{d}}{3}\right)$
Умножим обе части уравнения на 3:
$3(\vec{a} + \vec{c}) = (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) + (\vec{a} + \vec{c} + \vec{d})$
$3\vec{a} + 3\vec{c} = 2\vec{a} + \vec{b} + 2\vec{c} + \vec{d}$
Перенесем члены с $\vec{a}$ и $\vec{c}$ в левую часть:
$(3\vec{a} - 2\vec{a}) + (3\vec{c} - 2\vec{c}) = \vec{b} + \vec{d}$
$\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$

Докажем, что ABCD — параллелограмм.
Разделим полученное равенство $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b} + \vec{d}$ на 2:
$\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2} = \frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$
Выражение $\frac{\vec{a} + \vec{c}}{2}$ представляет собой радиус-вектор середины диагонали $AC$ четырехугольника $ABCD$. Выражение $\frac{\vec{b} + \vec{d}}{2}$ представляет собой радиус-вектор середины диагонали $BD$. Поскольку радиус-векторы середин диагоналей $AC$ и $BD$ равны, эти точки совпадают. Признаком параллелограмма является то, что его диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Так как середины диагоналей $ABCD$ совпадают, то четырехугольник $ABCD$ является параллелограммом, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.