Номер 13.17, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.17. Точка D — середина стороны AC треугольника ABC, отрезки DE и DF — биссектрисы треугольников ABD и CBD соответственно.

Докажите, что $EF \parallel AC$.

13.17. Точка D – середина стороны AC треугольника ABC, отрезки DE и DF – биссектрисы треугольников ABD и CBD соответственно.

Докажите, что $EF \parallel AC$.

Доказательство:

Рассмотрим треугольник $ABD$. По условию, $DE$ является биссектрисой угла $ADB$. По свойству биссектрисы треугольника, она делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Следовательно, справедливо равенство:

$\frac{AE}{EB} = \frac{AD}{DB}$

Теперь рассмотрим треугольник $CBD$. По условию, $DF$ является биссектрисой угла $CDB$. Аналогично, по свойству биссектрисы треугольника, имеем:

$\frac{CF}{FB} = \frac{CD}{DB}$

Из условия задачи известно, что точка $D$ — середина стороны $AC$, следовательно, $AD = CD$.

Так как $AD = CD$, правые части двух полученных пропорций равны ($ \frac{AD}{DB} = \frac{CD}{DB} $). Это означает, что и левые части также должны быть равны:

$\frac{AE}{EB} = \frac{CF}{FB}$

Это равенство можно переписать в виде $\frac{BE}{EA} = \frac{BF}{FC}$.

В треугольнике $ABC$ точки $E$ и $F$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно, и делят эти стороны в одинаковом отношении, считая от общей вершины $B$. По теореме, обратной теореме Фалеса (теореме о пропорциональных отрезках), если прямая делит две стороны треугольника на пропорциональные отрезки, то она параллельна третьей стороне. Следовательно, прямая $EF$ параллельна стороне $AC$.

Ответ: что и требовалось доказать.