Номер 13.14, страница 102 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 60 см, а центр вписанной окружности делит медиану, проведённую к основанию, в отношении $12 : 5$. Найдите основание треугольника.

13.14. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 60 см, а центр вписанной окружности делит медиану, проведённую к основанию, в отношении $12 : 5$. Найдите основание треугольника.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$ и боковыми сторонами $AB = BC = 60$ см.

Проведём медиану $BM$ к основанию $AC$. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой и биссектрисой. Следовательно, $BM$ – биссектриса угла $\angle ABC$.

Центр вписанной окружности (инцентр), обозначим его $O$, является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Так как $BM$ является биссектрисой, то точка $O$ лежит на отрезке $BM$.

По условию, центр $O$ делит медиану $BM$ в отношении $12:5$, считая от вершины $B$. Таким образом, мы имеем соотношение: $\frac{BO}{OM} = \frac{12}{5}$.

Рассмотрим треугольник $ABM$. Так как $O$ – инцентр, то отрезок $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAM$.

По свойству биссектрисы угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Применительно к треугольнику $ABM$ и биссектрисе $AO$, это свойство записывается в виде пропорции:

$\frac{AB}{AM} = \frac{BO}{OM}$

Подставим известные значения ($AB = 60$ и $\frac{BO}{OM} = \frac{12}{5}$) в эту пропорцию:

$\frac{60}{AM} = \frac{12}{5}$

Отсюда найдём $AM$:

$12 \cdot AM = 60 \cdot 5$

$12 \cdot AM = 300$

$AM = \frac{300}{12} = 25$ см.

Так как $BM$ – медиана, проведённая к основанию $AC$, то точка $M$ является серединой основания. Следовательно, длина основания $AC$ равна удвоенной длине отрезка $AM$:

$AC = 2 \cdot AM = 2 \cdot 25 = 50$ см.

Ответ: 50 см.