Номер 13.9, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.9. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Докажите, что отрезки $AM$ и $AN$ делят диагональ $BD$ на три равные части.

13.9. Точки $M$ и $N$ — середины сторон $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ соответственно. Докажите, что отрезки $AM$ и $AN$ делят диагональ $BD$ на три равные части.

Пусть отрезки $AM$ и $AN$ пересекают диагональ $BD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Нам необходимо доказать, что $BP = PQ = QD$.

Для доказательства воспользуемся свойствами медиан треугольника.

1. Рассмотрение треугольника $ACD$ и точки $Q$.

В параллелограмме $ABCD$ диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Обозначим точку пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ как $O$. Таким образом, $O$ является серединой как $AC$, так и $BD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$.

• По условию, $N$ — середина стороны $CD$. Следовательно, отрезок $AN$ является медианой треугольника $ACD$, проведенной из вершины $A$.
• Так как $O$ — середина стороны $AC$, отрезок $DO$ является медианой треугольника $ACD$, проведенной из вершины $D$.

Точка $Q$ является точкой пересечения отрезков $AN$ и $BD$. Поскольку отрезок $DO$ является частью диагонали $BD$, точка $Q$ также является точкой пересечения медиан $AN$ и $DO$ треугольника $ACD$.

Точка пересечения медиан треугольника (центроид) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Применительно к медиане $DO$, это означает, что $DQ : QO = 2 : 1$.

Отсюда следует, что $DQ = 2 \cdot QO$. Вся медиана $DO$ состоит из двух частей: $DO = DQ + QO = 2 \cdot QO + QO = 3 \cdot QO$.

Таким образом, $DQ = \frac{2}{3}DO$.

Поскольку $O$ — середина диагонали $BD$, мы знаем, что $DO = \frac{1}{2}BD$. Подставим это в наше выражение для $DQ$:

$DQ = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}BD\right) = \frac{1}{3}BD$.

2. Рассмотрение треугольника $ABC$ и точки $P$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC$.

• По условию, $M$ — середина стороны $BC$. Следовательно, отрезок $AM$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $A$.
• Так как $O$ — середина стороны $AC$, отрезок $BO$ является медианой треугольника $ABC$, проведенной из вершины $B$.

Точка $P$ является точкой пересечения отрезков $AM$ и $BD$. Поскольку отрезок $BO$ является частью диагонали $BD$, точка $P$ также является точкой пересечения медиан $AM$ и $BO$ треугольника $ABC$.

Следовательно, точка $P$ — это центроид треугольника $ABC$. Она делит медиану $BO$ в отношении 2:1, считая от вершины $B$. То есть, $BP : PO = 2 : 1$.

Отсюда следует, что $BP = 2 \cdot PO$. Вся медиана $BO$ состоит из двух частей: $BO = BP + PO = 2 \cdot PO + PO = 3 \cdot PO$.

Таким образом, $BP = \frac{2}{3}BO$.

Поскольку $O$ — середина диагонали $BD$, мы знаем, что $BO = \frac{1}{2}BD$. Подставим это в наше выражение для $BP$:

$BP = \frac{2}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}BD\right) = \frac{1}{3}BD$.

3. Вычисление длины отрезка $PQ$.

Мы установили, что $BP = \frac{1}{3}BD$ и $DQ = \frac{1}{3}BD$. Диагональ $BD$ состоит из трех отрезков: $BP$, $PQ$ и $QD$.

$BD = BP + PQ + QD$

Подставим известные нам длины отрезков $BP$ и $DQ$:

$BD = \frac{1}{3}BD + PQ + \frac{1}{3}BD$

$BD = \frac{2}{3}BD + PQ$

Выразим $PQ$:

$PQ = BD - \frac{2}{3}BD = \frac{1}{3}BD$.

Таким образом, мы доказали, что $BP = \frac{1}{3}BD$, $PQ = \frac{1}{3}BD$ и $QD = \frac{1}{3}BD$. Следовательно, $BP = PQ = QD$.

Ответ: Утверждение доказано. Отрезки $AM$ и $AN$ делят диагональ $BD$ на три равные части.