Номер 13.6, страница 101 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

13.6. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$ так, что угол $C$ у них общий, а вершины $D, E$ и $F$ ромба принадлежат соответственно сторонам $AC, AB$ и $BC$ треугольника. Найдите стороны $AC$ и $BC$, если $AE = 30$ см, $BE = 12$ см, а периметр треугольника равен $105$ см.

13.6. В треугольник $ABC$ вписан ромб $CDEF$ так, что угол $C$ у них общий, а вершины $D, E$ и $F$ ромба принадлежат соответственно сторонам $AC, AB$ и $BC$ треугольника. Найдите стороны $AC$ и $BC$, если $AE = 30$ см, $BE = 12$ см, а периметр треугольника равен $105$ см.

Сначала найдем длину стороны $AB$ треугольника $ABC$, которая состоит из отрезков $AE$ и $BE$:
$AB = AE + BE = 30 \text{ см} + 12 \text{ см} = 42 \text{ см}$.

Периметр треугольника $ABC$ равен 105 см. Зная длину стороны $AB$, мы можем найти сумму длин двух других сторон, $AC$ и $BC$:
$P_{ABC} = AB + AC + BC$
$105 = 42 + AC + BC$
$AC + BC = 105 - 42 = 63 \text{ см}$.

Пусть сторона ромба $CDEF$ равна $x$. По определению ромба, все его стороны равны: $CD = DE = EF = FC = x$. Так как $CDEF$ — ромб, его противоположные стороны параллельны. В частности, $DE \parallel BC$ (поскольку $F$ лежит на $BC$) и $EF \parallel AC$ (поскольку $D$ лежит на $AC$).

Рассмотрим треугольник $ADE$. Поскольку $DE \parallel BC$, треугольник $ADE$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle A$ — общий, $\angle AED = \angle ABC$ как соответственные углы при параллельных прямых $DE$ и $BC$ и секущей $AB$). Из подобия треугольников следует соотношение их сторон: $\frac{AE}{AB} = \frac{DE}{BC}$ Подставляя известные значения, получаем: $\frac{30}{42} = \frac{x}{BC}$
$\frac{5}{7} = \frac{x}{BC} \implies x = \frac{5}{7}BC$.

Теперь рассмотрим треугольник $EBF$. Поскольку $EF \parallel AC$, треугольник $EBF$ подобен треугольнику $ABC$ (по двум углам: $\angle B$ — общий, $\angle BEF = \angle BAC$ как соответственные углы при параллельных прямых $EF$ и $AC$ и секущей $AB$). Из подобия треугольников следует соотношение их сторон: $\frac{BE}{AB} = \frac{EF}{AC}$ Подставляя известные значения, получаем: $\frac{12}{42} = \frac{x}{AC}$
$\frac{2}{7} = \frac{x}{AC} \implies x = \frac{2}{7}AC$.

Мы получили два выражения для стороны ромба $x$. Приравняем их: $\frac{5}{7}BC = \frac{2}{7}AC$
$5 \cdot BC = 2 \cdot AC$
Отсюда можно выразить $AC$ через $BC$: $AC = \frac{5}{2}BC = 2.5 \cdot BC$.

Теперь подставим это соотношение в уравнение, которое мы получили из периметра: $AC + BC = 63$
$2.5 \cdot BC + BC = 63$
$3.5 \cdot BC = 63$
$BC = \frac{63}{3.5} = \frac{630}{35} = 18 \text{ см}$.

Наконец, найдем длину стороны $AC$: $AC = 2.5 \cdot BC = 2.5 \cdot 18 = 45 \text{ см}$.

Ответ: $AC = 45$ см, $BC = 18$ см.