Номер 12.31, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.31. В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ противоположащие углы $A$ и $C$ — прямые. На диагональ $AC$ опущены перпендикуляры $BE$ и $DF$. Докажите, что $CE = FA$.

12.31. В выпуклом четырёхугольнике ABCD противоположащие углы A и C — прямые. На диагональ AC опущены перпендикуляры BE и DF. Докажите, что $CE = FA$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AFD$ и $\triangle CEB$. По условию, $DF \perp AC$ и $BE \perp AC$, следовательно, $\angle AFD = 90^\circ$ и $\angle CEB = 90^\circ$.

Из определения косинуса в прямоугольном треугольнике выразим длины отрезков $AF$ и $CE$:

В $\triangle AFD$: катет $AF$ равен произведению гипотенузы $AD$ на косинус прилежащего угла $\angle DAF$, то есть $AF = AD \cdot \cos(\angle DAC)$.

В $\triangle CEB$: катет $CE$ равен произведению гипотенузы $BC$ на косинус прилежащего угла $\angle BCE$, то есть $CE = BC \cdot \cos(\angle BCA)$.

Таким образом, задача сводится к доказательству равенства: $AD \cdot \cos(\angle DAC) = BC \cdot \cos(\angle BCA)$.

Применим теорему синусов к треугольникам, на которые диагональ $AC$ разбивает четырехугольник, — $\triangle ADC$ и $\triangle ABC$.

Для $\triangle ADC$ справедливо соотношение: $\frac{AD}{\sin(\angle ACD)} = \frac{AC}{\sin(\angle ADC)}$, откуда $AD = \frac{AC \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ADC)}$.

Для $\triangle ABC$ справедливо соотношение: $\frac{BC}{\sin(\angle BAC)} = \frac{AC}{\sin(\angle ABC)}$, откуда $BC = \frac{AC \cdot \sin(\angle BAC)}{\sin(\angle ABC)}$.

Подставим полученные выражения для $AD$ и $BC$ в равенство, которое мы доказываем:

$\frac{AC \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ADC)} \cdot \cos(\angle DAC) = \frac{AC \cdot \sin(\angle BAC)}{\sin(\angle ABC)} \cdot \cos(\angle BCA)$.

Длина диагонали $AC$ не равна нулю, поэтому мы можем сократить $AC$ в обеих частях уравнения:

$\frac{\sin(\angle ACD) \cdot \cos(\angle DAC)}{\sin(\angle ADC)} = \frac{\sin(\angle BAC) \cdot \cos(\angle BCA)}{\sin(\angle ABC)}$.

Теперь воспользуемся условием, что углы $A$ и $C$ четырехугольника — прямые.

$\angle DAB = \angle DAC + \angle BAC = 90^\circ$, из чего следует, что $\cos(\angle DAC) = \cos(90^\circ - \angle BAC) = \sin(\angle BAC)$.

$\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD = 90^\circ$, из чего следует, что $\cos(\angle BCA) = \cos(90^\circ - \angle ACD) = \sin(\angle ACD)$.

Подставим эти тригонометрические тождества в наше равенство:

$\frac{\sin(\angle ACD) \cdot \sin(\angle BAC)}{\sin(\angle ADC)} = \frac{\sin(\angle BAC) \cdot \sin(\angle ACD)}{\sin(\angle ABC)}$.

Поскольку $ABCD$ — выпуклый четырехугольник, углы $\angle BAC$ и $\angle ACD$ находятся в интервале $(0, 90^\circ)$, а значит, их синусы не равны нулю. Сократив $\sin(\angle BAC)$ и $\sin(\angle ACD)$, получаем:

$\frac{1}{\sin(\angle ADC)} = \frac{1}{\sin(\angle ABC)}$, что равносильно $\sin(\angle ADC) = \sin(\angle ABC)$.

Сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360^\circ$. Для четырехугольника $ABCD$ имеем:

$\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle ADC = 360^\circ$.

Подставив известные значения $\angle DAB = 90^\circ$ и $\angle BCD = 90^\circ$, получаем:

$90^\circ + \angle ABC + 90^\circ + \angle ADC = 360^\circ$,

откуда следует, что $\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$.

Известно, что для углов, сумма которых равна $180^\circ$, их синусы равны: $\sin(\alpha) = \sin(180^\circ - \alpha)$. Следовательно, $\sin(\angle ABC) = \sin(180^\circ - \angle ADC) = \sin(\angle ADC)$.

Мы пришли к тождеству, что доказывает истинность равенства $\sin(\angle ADC) = \sin(\angle ABC)$. Так как все наши преобразования были равносильными, исходное утверждение $CE = FA$ также является верным. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.