Номер 12.26, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.26. Высота $BK$ ромба $ABCD$, проведённая к стороне $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $M$. Найдите отрезок $MD$, если известно, что $BK = 4$ см, $AK : KD = 1 : 2$.

12.26. Высота $BK$ ромба $ABCD$, проведённая к стороне $AD$, пересекает диагональ $AC$ в точке $M$. Найдите отрезок $MD$, если известно, что $BK = 4$ см, $AK : KD = 1 : 2$.

Поскольку ABCD — ромб, все его стороны равны. Обозначим длину отрезка $AK$ как $x$. Согласно условию $AK : KD = 1 : 2$, длина отрезка $KD$ будет $2x$. Тогда сторона ромба $AD = AK + KD = x + 2x = 3x$. Следовательно, $AB = AD = 3x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK (так как BK — высота, $\angle BKA = 90^\circ$). По теореме Пифагора, $AB^2 = AK^2 + BK^2$. Подставим известные значения:

$(3x)^2 = x^2 + 4^2$

$9x^2 = x^2 + 16$

$8x^2 = 16$

$x^2 = 2$

$x = \sqrt{2}$ см.

Теперь мы можем найти длины отрезков:

$AK = x = \sqrt{2}$ см.

$KD = 2x = 2\sqrt{2}$ см.

Сторона ромба $AD = BC = 3x = 3\sqrt{2}$ см.

Так как ABCD — ромб, его противоположные стороны параллельны, т.е. $BC \parallel AD$. Рассмотрим треугольники $\triangle AMK$ и $\triangle CMB$.

1. $\angle MAK = \angle MCB$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC).

2. $\angle AMK = \angle CMB$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AMK \sim \triangle CMB$ по двум углам. Из подобия треугольников следует пропорциональность их сторон:

$\frac{MK}{MB} = \frac{AK}{CB}$

Подставим известные значения:

$\frac{MK}{MB} = \frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{3}$

Отсюда следует, что $MB = 3 \cdot MK$. Мы знаем, что $BK = MK + MB = 4$ см. Заменим $MB$:

$MK + 3 \cdot MK = 4$

$4 \cdot MK = 4$

$MK = 1$ см.

Теперь рассмотрим треугольник MKD. Поскольку $BK \perp AD$, то и $MK \perp KD$, значит, $\triangle MKD$ — прямоугольный с прямым углом K. По теореме Пифагора:

$MD^2 = MK^2 + KD^2$

$MD^2 = 1^2 + (2\sqrt{2})^2 = 1 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9$

$MD = \sqrt{9} = 3$ см.

Ответ: 3 см.