Номер 12.29, страница 97 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.29. Через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, не имеющая с параллелограммом других общих точек. Вершины $A$ и $C$ удалены от этой прямой на расстояния $a$ и $b$ соответственно. Найдите расстояние от точки $D$ до этой прямой.

12.29. Через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, не имеющая с параллелограммом других общих точек. Вершины $A$ и $C$ удалены от этой прямой на расстояния $a$ и $b$ соответственно. Найдите расстояние от точки $D$ до этой прямой.

Пусть $l$ — это прямая, проходящая через вершину $B$ параллелограмма $ABCD$. По условию, эта прямая не имеет с параллелограммом других общих точек, кроме $B$. Это означает, что все остальные вершины ($A$, $C$ и $D$) и весь параллелограмм лежат по одну сторону от прямой $l$.

Опустим перпендикуляры из вершин $A$, $C$ и $D$ на прямую $l$. Обозначим основания этих перпендикуляров как $A'$, $C'$ и $D'$ соответственно. Длины этих перпендикуляров и есть расстояния от вершин до прямой $l$.

Из условия задачи имеем:

• Расстояние от $A$ до $l$ равно $a$, то есть $AA' = a$.
• Расстояние от $C$ до $l$ равно $b$, то есть $CC' = b$.
• Точка $B$ лежит на прямой $l$, поэтому расстояние от $B$ до $l$ равно 0.

Нам нужно найти расстояние от точки $D$ до прямой $l$, то есть длину перпендикуляра $DD'$. Обозначим эту длину через $x$.

Воспользуемся основным свойством диагоналей параллелограмма: они пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Тогда точка $O$ является серединой как диагонали $AC$, так и диагонали $BD$.

Рассмотрим трапецию $A'ACC'$. Её основаниями являются перпендикуляры $AA'$ и $CC'$, которые параллельны друг другу. Опустим перпендикуляр $OO'$ из точки $O$ на прямую $l$. Так как $O$ — середина отрезка $AC$, то отрезок $OO'$ является средней линией трапеции $A'ACC'$. Длина средней линии трапеции равна полусумме её оснований: $OO' = \frac{AA' + CC'}{2} = \frac{a + b}{2}$.

Теперь рассмотрим диагональ $BD$. Точка $O$ также является серединой $BD$. Фигура, образованная точками $B$, $D$, $D'$ и точкой $B$ на прямой $l$ (обозначим ее $B'$ для общности, $B' \equiv B$), также является трапецией $B'BDD'$. Её основаниями являются отрезки $BB'$ и $DD'$. Длина $BB' = 0$, а $DD' = x$. Отрезок $OO'$ является средней линией и этой трапеции. Следовательно: $OO' = \frac{BB' + DD'}{2} = \frac{0 + x}{2} = \frac{x}{2}$.

Мы получили два разных выражения для длины одного и того же отрезка $OO'$. Приравнивая их, получаем: $\frac{x}{2} = \frac{a + b}{2}$.

Умножив обе части уравнения на 2, находим $x$: $x = a + b$.

Следовательно, расстояние от точки $D$ до прямой равно $a + b$.

Ответ: $a + b$.