Номер 12.24, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.24. Точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $l$ и удалены от неё на 6 см и 8 см соответственно. Найдите расстояние от середины отрезка $AB$ до прямой $l$.

12.24. Точки $A$ и $B$ лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $l$ и удалены от неё на 6 см и 8 см соответственно. Найдите расстояние от середины отрезка $AB$ до прямой $l$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть прямая $l$ совпадает с осью абсцисс (осью Ox). В этом случае расстояние от любой точки до прямой $l$ будет равно модулю ее ординаты.

По условию, точки A и B лежат в разных полуплоскостях относительно прямой $l$. Это означает, что если одна точка находится над осью Ox (ее ордината положительна), то другая находится под осью Ox (ее ордината отрицательна).

Пусть точка A находится в верхней полуплоскости ($y>0$). Расстояние от A до прямой $l$ равно 6 см, следовательно, ордината точки A равна 6. Пусть ее абсцисса равна $x_A$. Таким образом, координаты точки A: $A(x_A, 6)$.

Точка B находится в нижней полуплоскости ($y<0$). Расстояние от B до прямой $l$ равно 8 см, следовательно, ордината точки B равна -8. Пусть ее абсцисса равна $x_B$. Таким образом, координаты точки B: $B(x_B, -8)$.

Пусть M — середина отрезка AB. Координаты середины отрезка находятся как среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Найдем координаты точки M($x_M, y_M$):

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{6 + (-8)}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Таким образом, координаты точки M равны $(\frac{x_A + x_B}{2}, -1)$.

Расстояние от точки M до прямой $l$ (оси Ox) равно модулю ее ординаты:

Расстояние $= |y_M| = |-1| = 1$ см.

Ответ: 1 см.