Номер 12.18, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.18. В равнобедренном треугольнике $DEF$ провели высоту $EC$ к его основанию и на боковой стороне $EF$ отметили точку $A$. Отрезки $EC$ и $DA$ пересекаются в точке $O$, причём $AO : OD = 3 : 8$. Найдите отношение $EA : AF$.

12.18. В равнобедренном треугольнике $DEF$ провели высоту $EC$ к его основанию и на боковой стороне $EF$ отметили точку $A$. Отрезки $EC$ и $DA$ пересекаются в точке $O$, причём $AO : OD = 3 : 8$. Найдите отношение $EA : AF$.

Решение:
Пусть дан равнобедренный треугольник $DEF$ с основанием $DF$. Это означает, что боковые стороны равны: $ED = EF$.

Высота $EC$, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является также и медианой. Следовательно, точка $C$ – середина основания $DF$, и $DC = CF$.

Для решения задачи применим метод дополнительных построений. Проведем через точку $A$ прямую, параллельную основанию $DF$, до пересечения с высотой $EC$ в точке $M$. Таким образом, $AM \parallel DF$.

Рассмотрим треугольники $AMO$ и $DCO$:
1. $\angle AOM = \angle DOC$ (как вертикальные углы).
2. $\angle OAM = \angle ODC$ (как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AM$ и $DF$ и секущей $AD$).
Следовательно, $\triangle AMO \sim \triangle DCO$ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:
$\frac{AM}{DC} = \frac{AO}{DO}$
По условию задачи $AO : OD = 3 : 8$, значит $\frac{AO}{DO} = \frac{3}{8}$.
Таким образом, $\frac{AM}{DC} = \frac{3}{8}$.

Теперь рассмотрим треугольники $EAM$ и $EFC$:
Поскольку $AM \parallel FC$ (так как $AM \parallel DF$, а $FC$ является частью $DF$), то эти треугольники подобны. У них общий угол при вершине $E$, а углы $\angle EAM$ и $\angle EFC$ равны как соответственные при параллельных прямых $AM$ и $FC$ и секущей $EF$.
Следовательно, $\triangle EAM \sim \triangle EFC$.

Из подобия этих треугольников следует:
$\frac{EA}{EF} = \frac{AM}{FC}$

Так как $C$ – середина $DF$, мы знаем, что $DC = FC$. Заменим в последнем равенстве $FC$ на $DC$:
$\frac{EA}{EF} = \frac{AM}{DC}$
Из подобия треугольников $AMO$ и $DCO$ мы уже нашли, что $\frac{AM}{DC} = \frac{3}{8}$.
Следовательно, $\frac{EA}{EF} = \frac{3}{8}$.

Это отношение означает, что длина отрезка $EA$ составляет 3 части, а длина всей стороны $EF$ – 8 таких же частей. Тогда на отрезок $AF$ приходится:
$AF = EF - EA = 8 \text{ частей} - 3 \text{ части} = 5 \text{ частей}$.

Таким образом, искомое отношение равно:
$EA : AF = 3 : 5$.

Ответ: $3:5$.