Номер 12.17, страница 96 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.17. Точка $D$ — середина стороны $AC$ треугольника $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 2 : 7$. В каком отношении прямая $BD$ делит отрезок $CM$?

12.17. Точка $D$ — середина стороны $AC$ треугольника $ABC$. На стороне $AB$ отметили точку $M$ так, что $AM : MB = 2 : 7$. В каком отношении прямая $BD$ делит отрезок $CM$?

Для решения этой задачи можно использовать несколько методов. Приведём два из них.

Способ 1. Метод дополнительного построения

Пусть прямая $BD$ пересекает отрезок $CM$ в точке $K$. Нам необходимо найти отношение $CK : KM$.

1. Выполним дополнительное построение: проведём через точку $A$ прямую, параллельную отрезку $CM$. Пусть эта прямая пересекает продолжение прямой $BD$ в точке $P$.

2. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle AD P$ и $\triangle C D K$. У них:
- $AD = CD$, так как $D$ — середина стороны $AC$ по условию.
- $\angle AD P = \angle C D K$ как вертикальные углы.
- $\angle PAD = \angle KCD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $AP$ и $CK$ и секущей $AC$.
Следовательно, треугольники $\triangle AD P$ и $\triangle C D K$ равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников). Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон: $AP = CK$.

3. Далее рассмотрим треугольники $\triangle B M K$ и $\triangle B A P$. У них:
- $\angle B$ является общим.
- $\angle BKM = \angle BPA$ как соответственные углы при параллельных прямых $KM$ (являющейся частью $CM$) и $AP$ и секущей $BP$.
Следовательно, треугольники $\triangle B M K$ и $\triangle B A P$ подобны по двум углам. Из подобия следует пропорциональность их соответствующих сторон:
$\frac{KM}{AP} = \frac{BM}{BA}$

4. Из условия задачи известно, что $AM : MB = 2 : 7$. Примем длину отрезка $AM$ за $2x$, тогда длина $MB$ будет $7x$. Длина всей стороны $AB$ равна $AM + MB = 2x + 7x = 9x$.
Тогда отношение длин отрезков $\frac{BM}{BA} = \frac{7x}{9x} = \frac{7}{9}$.

5. Подставим полученные данные в соотношение из шага 3. Заменив $AP$ на равный ему отрезок $CK$ (из шага 2), получим:
$\frac{KM}{CK} = \frac{BM}{BA} = \frac{7}{9}$
Из этой пропорции находим искомое отношение:
$\frac{CK}{KM} = \frac{9}{7}$

Ответ: Прямая $BD$ делит отрезок $CM$ в отношении $9:7$, считая от вершины $C$.

Способ 2. Применение теоремы Менелая

Пусть прямая $BD$ пересекает отрезок $CM$ в точке $K$.

Рассмотрим треугольник $AMC$ и секущую $BKD$. Эта прямая пересекает сторону $AC$ в точке $D$, сторону $CM$ в точке $K$ и продолжение стороны $AM$ в точке $B$.

По теореме Менелая для треугольника $AMC$ и секущей $BKD$ справедливо равенство:
$\frac{AB}{BM} \cdot \frac{MK}{KC} \cdot \frac{CD}{DA} = 1$

Вычислим значения отношений, входящих в это равенство:
- Так как $D$ — середина $AC$, то $AD = CD$, и, следовательно, $\frac{CD}{DA} = 1$.
- По условию $AM : MB = 2 : 7$. Пусть $AM = 2x$, тогда $MB = 7x$, а $AB = AM + MB = 9x$. Отсюда находим отношение $\frac{AB}{BM} = \frac{9x}{7x} = \frac{9}{7}$.

Подставим найденные значения в уравнение теоремы Менелая:
$\frac{9}{7} \cdot \frac{MK}{KC} \cdot 1 = 1$
Из этого уравнения выражаем искомое отношение:
$\frac{MK}{KC} = \frac{7}{9}$
Это означает, что $\frac{CK}{KM} = \frac{9}{7}$.

Ответ: Прямая $BD$ делит отрезок $CM$ в отношении $9:7$, считая от вершины $C$.