Номер 12.10, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.10. Основания трапеции равны 16 см и 28 см. Одну из боковых сторон разделили на три равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции.

12.10. Основания трапеции равны 16 см и 28 см. Одну из боковых сторон разделили на три равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные основаниям. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие трапеции.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$. По условию, $BC = 16$ см и $AD = 28$ см.Пусть боковая сторона $AB$ разделена на три равных отрезка точками $M$ и $N$ (точка $M$ ближе к вершине $B$). Таким образом, $BM = MN = NA$.Через точки $M$ и $N$ проведены прямые, параллельные основаниям трапеции. Пусть эти прямые пересекают боковую сторону $CD$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Нам нужно найти длины отрезков $MP$ и $NQ$.

Для решения задачи используем метод, основанный на свойствах подобных треугольников. Проведем через вершину $B$ прямую, параллельную стороне $CD$. Пусть эта прямая пересекает отрезок $MP$ в точке $K$, отрезок $NQ$ в точке $L$, а основание $AD$ в точке $E$.

По построению $BE \parallel CD$ и $BC \parallel ED$, следовательно, четырехугольник $BCDE$ — параллелограмм. Из этого следует, что $ED = BC = 16$ см.Аналогично, $BCPK$ и $BCLQ$ также являются параллелограммами, поэтому $KP = LQ = BC = 16$ см.

Теперь рассмотрим треугольник $ABE$. Длина стороны $AE$ равна $AE = AD - ED = 28 - 16 = 12$ см.Так как $MP \parallel AD$ и $NQ \parallel AD$, то отрезки $MK$ и $NL$ параллельны стороне $AE$ треугольника $ABE$.

Найдем длину отрезка $MP$

Рассмотрим треугольники $\Delta BMK$ и $\Delta BAE$. Они подобны по двум углам (угол при вершине $B$ — общий, а $\angle BMK = \angle BAE$ как соответственные углы при параллельных прямых $MK$ и $AE$ и секущей $AB$).

Коэффициент подобия равен отношению сторон:

$\frac{BM}{BA} = \frac{BM}{BM + MN + NA} = \frac{BM}{3 \cdot BM} = \frac{1}{3}$

Следовательно, отношение соответствующих сторон $MK$ и $AE$ также равно $\frac{1}{3}$:

$\frac{MK}{AE} = \frac{1}{3}$

$MK = \frac{1}{3} \cdot AE = \frac{1}{3} \cdot 12 = 4$ см.

Длина всего отрезка $MP$ равна сумме длин отрезков $MK$ и $KP$:

$MP = MK + KP = 4 + 16 = 20$ см.

Ответ: 20 см.

Найдем длину отрезка $NQ$

Рассмотрим треугольники $\Delta BNL$ и $\Delta BAE$. Они также подобны по двум углам по той же причине.

Коэффициент подобия в этом случае равен:

$\frac{BN}{BA} = \frac{BM + MN}{BM + MN + NA} = \frac{2 \cdot BM}{3 \cdot BM} = \frac{2}{3}$

Следовательно, отношение соответствующих сторон $NL$ и $AE$ также равно $\frac{2}{3}$:

$\frac{NL}{AE} = \frac{2}{3}$

$NL = \frac{2}{3} \cdot AE = \frac{2}{3} \cdot 12 = 8$ см.

Длина всего отрезка $NQ$ равна сумме длин отрезков $NL$ и $LQ$:

$NQ = NL + LQ = 8 + 16 = 24$ см.

Ответ: 24 см.