Номер 12.9, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.9. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна 24 см. Сторону $AB$ разделили на четыре равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $AC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику.

12.9. Сторона $AC$ треугольника $ABC$ равна 24 см. Сторону $AB$ разделили на четыре равных отрезка и через точки деления провели прямые, параллельные стороне $AC$. Найдите отрезки этих прямых, принадлежащие треугольнику.

Пусть в треугольнике $ABC$ сторона $AC = 24$ см. Сторону $AB$ разделили на четыре равных отрезка. Обозначим точки деления как $D, E, F$, так что они расположены в порядке от $A$ к $B$: $A, D, E, F, B$. Таким образом, мы имеем равенство $AD = DE = EF = FB$.

Через точки $D, E, F$ проведены прямые, параллельные стороне $AC$. Пусть эти прямые пересекают сторону $BC$ в точках $G, H, I$ соответственно. Требуется найти длины отрезков $DG, EH$ и $FI$.

Поскольку прямые $DG, EH, FI$ параллельны стороне $AC$, они отсекают от треугольника $ABC$ меньшие треугольники, подобные ему. Рассмотрим треугольники $\triangle BDG$, $\triangle BEH$ и $\triangle BFI$. Все они подобны исходному треугольнику $\triangle BAC$ по двум углам (угол при вершине $B$ — общий, а углы при основаниях равны как соответственные углы при параллельных прямых и секущей).

$\triangle BFI \sim \triangle BAC$
$\triangle BEH \sim \triangle BAC$
$\triangle BDG \sim \triangle BAC$

Коэффициент подобия для каждой пары треугольников равен отношению их соответствующих сторон. Воспользуемся сторонами, лежащими на прямой $AB$. Пусть длина каждого из четырех равных отрезков на стороне $AB$ равна $x$. Тогда $FB = x$, а вся сторона $AB = 4x$. Длины отрезков от вершины $B$ до точек деления будут:
$BF = x$
$BE = BF + FE = x + x = 2x$
$BD = BE + ED = 2x + x = 3x$

Теперь можем вычислить коэффициенты подобия каждого из малых треугольников по отношению к большому треугольнику $BAC$:
Для $\triangle BFI$ коэффициент подобия $k_1 = \frac{BF}{BA} = \frac{x}{4x} = \frac{1}{4}$.
Для $\triangle BEH$ коэффициент подобия $k_2 = \frac{BE}{BA} = \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}$.
Для $\triangle BDG$ коэффициент подобия $k_3 = \frac{BD}{BA} = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}$.

Длины искомых отрезков ($FI, EH, DG$) относятся к длине стороны $AC$ с теми же коэффициентами подобия. Найдем их длины, зная что $AC = 24$ см:

Длина отрезка $FI$ (ближайшего к вершине B) равна:
$FI = k_1 \cdot AC = \frac{1}{4} \cdot 24 = 6$ см.

Длина среднего отрезка $EH$ равна:
$EH = k_2 \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$ см.

Длина отрезка $DG$ (ближайшего к основанию AC) равна:
$DG = k_3 \cdot AC = \frac{3}{4} \cdot 24 = 18$ см.

Ответ: длины искомых отрезков равны 6 см, 12 см и 18 см.