Номер 12.13, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.13. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию $MK$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что $ME = KF$.

12.13. Диагонали трапеции пересекают её среднюю линию $MK$ в точках $E$ и $F$. Докажите, что $ME = KF$.

Дано:
Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$.
$MK$ – средняя линия трапеции, где $M$ – середина боковой стороны $AB$, а $K$ – середина боковой стороны $CD$.
Диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MK$ в точке $E$.
Диагональ $BD$ пересекает среднюю линию $MK$ в точке $F$.

Доказать:
$ME = KF$

Доказательство:
1. Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$.
Точка $M$ является серединой стороны $AB$ (по определению средней линии трапеции).
Средняя линия трапеции $MK$ параллельна ее основаниям, то есть $MK \parallel BC$.
Так как точка $E$ лежит на отрезке $MK$, то отрезок $ME$ также параллелен стороне $BC$ ($ME \parallel BC$).
По свойству средней линии треугольника, если отрезок проходит через середину одной стороны треугольника параллельно второй стороне, то этот отрезок является средней линией треугольника. Следовательно, $ME$ – средняя линия треугольника $\triangle ABC$.
По определению, длина средней линии треугольника равна половине длины параллельной ей стороны. Таким образом, получаем:
$ME = \frac{1}{2} BC$.

2. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle BCD$.
Точка $K$ является серединой стороны $CD$ (по определению средней линии трапеции).
Так как $MK \parallel BC$ и точка $F$ лежит на отрезке $MK$, то отрезок $KF$ также параллелен стороне $BC$ ($KF \parallel BC$).
Аналогично первому пункту, $KF$ является средней линией треугольника $\triangle BCD$.
Следовательно, ее длина также равна половине длины основания $BC$:
$KF = \frac{1}{2} BC$.

3. Сравнивая результаты, полученные в пунктах 1 и 2, имеем:
$ME = \frac{1}{2} BC$ и $KF = \frac{1}{2} BC$.
Отсюда следует, что $ME = KF$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ME = KF$ доказано.