Номер 12.11, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.11. Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.

12.11. Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$, причём $AD \parallel BC$. Пусть $MN$ — средняя линия этой трапеции, где точка $M$ является серединой боковой стороны $AB$, а точка $N$ — серединой боковой стороны $CD$. По определению средней линии трапеции, $AM = MB$ и $CN = ND$. По свойству средней линии трапеции, она параллельна её основаниям, то есть $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$.

Нам нужно доказать, что средняя линия $MN$ делит пополам диагонали $AC$ и $BD$.

1. Рассмотрим диагональ $AC$.
Пусть диагональ $AC$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $P$. Рассмотрим треугольник $ABC$.
Поскольку $M$ — середина стороны $AB$ и отрезок $MP$ является частью прямой $MN$, а $MN \parallel BC$, то и $MP \parallel BC$.
По теореме Фалеса (или по признаку средней линии треугольника), если прямая проходит через середину одной стороны треугольника и параллельна другой стороне, то она пересекает третью сторону в её середине. Следовательно, точка $P$ является серединой стороны $AC$. Таким образом, $AP = PC$.

2. Рассмотрим диагональ $BD$.
Пусть диагональ $BD$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $Q$. Рассмотрим треугольник $ABD$.
Поскольку $M$ — середина стороны $AB$ и отрезок $MQ$ является частью прямой $MN$, а $MN \parallel AD$, то и $MQ \parallel AD$.
Аналогично первому случаю, по теореме Фалеса, точка $Q$ является серединой стороны $BD$. Таким образом, $BQ = QD$.

Мы доказали, что точки пересечения средней линии трапеции с её диагоналями являются серединами этих диагоналей. Следовательно, средняя линия трапеции делит её диагонали пополам. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.