Номер 12.5, страница 95 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

12.5. Докажите, что средняя линия треугольника $ABC$, параллельная стороне $AC$, делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину $B$ с произвольной точкой стороны $AC$.

12.5. Докажите, что средняя линия треугольника $ABC$, параллельная стороне $AC$, делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину $B$ с произвольной точкой стороны $AC$.

Пусть в треугольнике $ABC$ проведена средняя линия $MN$, параллельная стороне $AC$ (где точка $M$ лежит на стороне $AB$, а точка $N$ — на стороне $BC$). По определению средней линии, точка $M$ является серединой стороны $AB$.

Выберем на стороне $AC$ произвольную точку $D$ и соединим её отрезком с вершиной $B$. Пусть этот отрезок $BD$ пересекает среднюю линию $MN$ в точке $P$. Нам необходимо доказать, что точка $P$ делит отрезок $BD$ пополам, то есть $BP = PD$.

Рассмотрим треугольник $ABD$. Отрезок $MP$ является частью средней линии $MN$. Поскольку по свойству средней линии $MN \parallel AC$, а точка $D$ принадлежит стороне $AC$, то и $MP \parallel AD$.

Применим теорему Фалеса. Рассмотрим угол $ABD$ и пересекающие его стороны $BA$ и $BD$ параллельные прямые $MP$ и $AD$. Согласно обобщённой теореме Фалеса, параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Следовательно, справедливо равенство:

$\frac{BM}{MA} = \frac{BP}{PD}$

Так как $M$ — середина стороны $AB$ (по определению средней линии треугольника $ABC$), то длины отрезков $BM$ и $MA$ равны: $BM = MA$.

Следовательно, их отношение равно единице:

$\frac{BM}{MA} = 1$

Подставим это значение в наше предыдущее равенство:

$\frac{BP}{PD} = 1$

Из этого соотношения следует, что $BP = PD$.

Таким образом, точка $P$ является серединой отрезка $BD$. Поскольку точка $D$ была выбрана на стороне $AC$ произвольно, мы доказали, что средняя линия треугольника $ABC$, параллельная стороне $AC$, делит пополам любой отрезок, соединяющий вершину $B$ с произвольной точкой стороны $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.