Номер 11.21, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.21. Даны точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Найдите точку $D$ такую, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был как вписанным, так и описанным.

11.21. Даны точки $A$, $B$ и $C$, не лежащие на одной прямой. Найдите точку $D$ такую, чтобы четырёхугольник $ABCD$ был как вписанным, так и описанным.

Для решения задачи необходимо найти точку D, которая удовлетворяет двум условиям для четырёхугольника ABCD: он должен быть вписанным в окружность и описанным около окружности.

1. Условие вписанного четырёхугольника.

Четырёхугольник является вписанным, если все его вершины лежат на одной окружности. Поскольку точки A, B и C не лежат на одной прямой, через них можно провести единственную окружность (описанную окружность треугольника ABC). Следовательно, чтобы четырёхугольник ABCD был вписанным, точка D должна лежать на этой окружности.

2. Условие описанного четырёхугольника.

Четырёхугольник является описанным, если в него можно вписать окружность. Согласно теореме Пито, это возможно тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны. Для четырёхугольника ABCD это условие записывается так:

$AB + CD = BC + DA$

Перегруппируем это равенство:

$DA - CD = AB - BC$

Длины отрезков AB и BC известны, так как точки A, B и C заданы. Их разность $AB - BC$ является постоянной величиной. Таким образом, точка D должна быть такой, чтобы разность расстояний от неё до точек A и C была равна известной константе $k = AB - BC$.

Геометрическое место точек, разность расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянна, является гиперболой. В нашем случае фокусами гиперболы являются точки A и C.

3. Построение точки D.

Итак, точка D должна удовлетворять обоим условиям одновременно:

• Лежать на окружности, проходящей через точки A, B и C.
• Лежать на гиперболе с фокусами A и C, для которой $|DA - DC| = |AB - BC|$.

Следовательно, искомая точка D является точкой пересечения этих двух кривых: окружности и гиперболы.

Заметим, что точка B также удовлетворяет уравнению гиперболы, так как $|BA - BC| = |AB - BC|$, что является тождеством. Значит, точка B является одной из точек пересечения окружности и гиперболы. Искомая точка D будет другой точкой (или одной из других точек) их пересечения, отличной от B.

Ответ: Искомая точка D является точкой пересечения (отличной от B) окружности, проходящей через точки A, B, C, и гиперболы с фокусами A и C, определяемой уравнением $|DA - DC| = |AB - BC|$. В общем случае такая точка существует и единственна (если не считать вырожденных случаев).