Номер 11.19, страница 87 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.19. Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания с вписанной окружностью противоположных сторон описанного четырёхугольника, равны тогда и только тогда, когда четырёхугольник имеет пару равных противоположащих углов.

11.19. Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания с вписанной окружностью противоположных сторон описанного четырёхугольника, равны тогда и только тогда, когда четырёхугольник имеет пару равных противоположащих углов.

Пусть $ABCD$ — описанный четырёхугольник, а $\omega$ — вписанная в него окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r$. Обозначим углы четырёхугольника при вершинах $A, B, C, D$ как $\alpha, \beta, \gamma, \delta$ соответственно. Известно, что сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$.

Пусть $K, L, M, N$ — точки касания окружности $\omega$ со сторонами $AB, BC, CD, DA$ соответственно. Требуется доказать, что равенство отрезков $KM = LN$ выполняется тогда и только тогда, когда в четырёхугольнике есть пара равных противолежащих углов, то есть $\alpha = \gamma$ или $\beta = \delta$.

Для доказательства выразим длины отрезков $KM$ и $LN$ через параметры четырёхугольника. Эти отрезки являются хордами окружности $\omega$. Длину хорды можно найти, зная радиус окружности и центральный угол, стягиваемый этой хордой.

Рассмотрим четырёхугольник $AKON$. Так как радиусы, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательным, $\angle AKO = \angle ANO = 90^\circ$. Сумма углов четырёхугольника равна $360^\circ$, поэтому центральный угол $\angle KON$ равен $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \alpha = 180^\circ - \alpha$.

Аналогично, рассматривая четырёхугольники $BKOL$, $CLOM$ и $DMON$, находим другие центральные углы:

• $\angle KOL = 180^\circ - \beta$
• $\angle LOM = 180^\circ - \gamma$
• $\angle MON = 180^\circ - \delta$

Теперь найдём длину хорды $KM$ по теореме косинусов для треугольника $\triangle KOM$.

$KM^2 = OK^2 + OM^2 - 2 \cdot OK \cdot OM \cdot \cos(\angle KOM) = r^2 + r^2 - 2r^2 \cos(\angle KOM) = 2r^2(1 - \cos(\angle KOM))$.

Точки $K, L, M, N$ расположены на окружности последовательно. Центральный угол $\angle KOM$ равен сумме углов $\angle KOL$ и $\angle LOM$, опирающихся на смежные дуги $KL$ и $LM$.

$\angle KOM = \angle KOL + \angle LOM = (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \gamma) = 360^\circ - (\beta + \gamma)$.

Поскольку $\cos(360^\circ - \theta) = \cos(\theta)$, то $\cos(\angle KOM) = \cos(\beta + \gamma)$. Таким образом, получаем:

$KM^2 = 2r^2(1 - \cos(\beta + \gamma))$

Аналогично для хорды $LN$ в треугольнике $\triangle LON$:

$LN^2 = OL^2 + ON^2 - 2 \cdot OL \cdot ON \cdot \cos(\angle LON) = 2r^2(1 - \cos(\angle LON))$.

Центральный угол $\angle LON$ равен сумме углов $\angle LOK$ и $\angle NOK$:

$\angle LON = \angle LOK + \angle NOK = (180^\circ - \beta) + (180^\circ - \alpha) = 360^\circ - (\alpha + \beta)$.

Отсюда $\cos(\angle LON) = \cos(\alpha + \beta)$, и для квадрата длины $LN$ имеем:

$LN^2 = 2r^2(1 - \cos(\alpha + \beta))$

Теперь мы можем доказать основное утверждение задачи. Условие $KM = LN$ эквивалентно условию $KM^2 = LN^2$.

$2r^2(1 - \cos(\beta + \gamma)) = 2r^2(1 - \cos(\alpha + \beta))$

Это равенство равносильно следующему:

$\cos(\beta + \gamma) = \cos(\alpha + \beta)$

Равенство косинусов $\cos(X) = \cos(Y)$ выполняется тогда и только тогда, когда $X = Y + 360^\circ \cdot k$ или $X = -Y + 360^\circ \cdot k$ для некоторого целого числа $k$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $\beta + \gamma = \alpha + \beta + 360^\circ \cdot k$.

Упрощая, получаем $\gamma = \alpha + 360^\circ \cdot k$. Поскольку $\alpha$ и $\gamma$ — это углы выпуклого четырёхугольника, они лежат в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$. Следовательно, их разность $|\gamma - \alpha|$ строго меньше $180^\circ$. Это возможно только при $k=0$, откуда следует, что $\gamma = \alpha$, то есть $\angle C = \angle A$.

Случай 2: $\beta + \gamma = -(\alpha + \beta) + 360^\circ \cdot k$.

Раскрывая скобки и перенося члены, получаем $\alpha + 2\beta + \gamma = 360^\circ \cdot k$.

Вспомним, что сумма углов четырёхугольника $\alpha + \beta + \gamma + \delta = 360^\circ$. Вычтем это тождество из предыдущего равенства:

$(\alpha + 2\beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma + \delta) = 360^\circ \cdot k - 360^\circ$

$\beta - \delta = 360^\circ(k-1)$

Поскольку $\beta$ и $\delta$ — углы выпуклого четырёхугольника, они лежат в интервале $(0^\circ, 180^\circ)$, и их разность $|\beta - \delta|$ строго меньше $180^\circ$. Это равенство может выполняться только при $k-1=0$, то есть при $k=1$. В этом случае $\beta - \delta = 0$, откуда $\beta = \delta$, то есть $\angle B = \angle D$.

Таким образом, мы показали, что равенство $KM = LN$ эквивалентно выполнению одного из двух условий: $\angle A = \angle C$ или $\angle B = \angle D$. Это доказывает утверждение задачи в обе стороны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение задачи доказано.