Номер 11.12, страница 86 - гдз по геометрии 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

11.12. Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

11.12. Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, совпадает с точкой пересечения его диагоналей. Докажите, что этот четырёхугольник — ромб.

Пусть дан четырёхугольник $ABCD$, в который вписана окружность. Пусть $O$ — точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. По условию задачи, точка $O$ также является центром вписанной окружности.

Центр окружности, вписанной в многоугольник, является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. Так как точка $O$ является центром вписанной окружности и одновременно лежит на диагоналях $AC$ и $BD$, то эти диагонали являются биссектрисами углов четырёхугольника.

Это означает, что:

• диагональ $AC$ является биссектрисой углов $\angle A$ и $\angle C$, то есть $\angle BAC = \angle DAC$ и $\angle BCA = \angle DCA$;
• диагональ $BD$ является биссектрисой углов $\angle B$ и $\angle D$, то есть $\angle ABD = \angle CBD$ и $\angle ADB = \angle CDB$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$. У них:

• сторона $AC$ — общая;
• $\angle BAC = \angle DAC$ (поскольку $AC$ — биссектриса $\angle A$);
• $\angle BCA = \angle DCA$ (поскольку $AC$ — биссектриса $\angle C$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам), $\triangle ABC \cong \triangle ADC$. Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон: $AB = AD$ и $BC = DC$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBD$. У них:

• сторона $BD$ — общая;
• $\angle ABD = \angle CBD$ (поскольку $BD$ — биссектриса $\angle B$);
• $\angle ADB = \angle CDB$ (поскольку $BD$ — биссектриса $\angle D$).

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, $\triangle ABD \cong \triangle CBD$. Из этого равенства следует, что $AB = CB$ и $AD = CD$.

Сопоставляя полученные равенства ($AB = AD$, $BC = DC$ и $AB = CB$), мы приходим к выводу, что все стороны четырёхугольника равны между собой: $AB = BC = CD = DA$.

Четырёхугольник, у которого все стороны равны, по определению является ромбом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.